Groupe de Poincaré (transformations)

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La symétrie de Poincaré ou groupe de Poincaré est l'ensemble des symétries pour la relativité restreinte et inclut

Les deux derniers types de symétrie forment les transformations de Lorentz, mais pour former un groupe, le groupe de Lorentz, il est nécessaire d'y inclure les rotations. Les quatre types engendrent le groupe de Poincaré lui-même. On dit que les éléments invariants suivant ce groupe satisfont l'invariance de Poincaré ou invariance relativiste.

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

En physique et en mathématiques, le groupe de Poincaré, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien Henri Poincaré, est le groupe des isométries d'un espace de Minkowski : c'est le groupe des transformations affines de l'espace-temps de la relativité restreinte qui laissent invariant l'intervalle d'espace-temps.

L'espace de Minkowski est un espace affine (réel et de dimension quatre) muni d'une distance hyperbolique (la métrique de Lorentz). Dans un tel espace, la distance entre deux évènements X=(x, y, z, c.t) et X^\prime=(x^\prime, y^\prime, z^\prime, c.t^\prime) vérifie d(X,X^\prime)^2=(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2-(c.t-c.t^\prime)^2 .

Le groupe de Poincaré est l'ensemble des transformations conservant cette structure, noté \mathbb R^4 \rtimes \operatorname{O}(3,1) qui regroupe les translations, rotations, transformations de Lorentz propres et orthochrones (boost), parité et renversement du temps. Il contient le groupe de Lorentz de la relativité restreinte.

\operatorname{O}(3,1) est le groupe orthogonal de la métrique de Lorentz, c'est-à-dire le groupe linéaire des matrices M de taille 4 telles que ^tMI_{3,1}M=I_{3,1}, où ^tM est la matrice transposée de M et I_{3,1}=\left[\begin{smallmatrix}1 & & & \\ & 1 & &\\ & & 1& \\ & & &-1\end{smallmatrix}\right] la matrice associée à la forme de Lorentz.

Remarques techniques[modifier | modifier le code]

Il s'agit en fait d'un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Le groupe abélien des translations est un sous-groupe normal alors que le groupe de Lorentz est un sous-groupe, correspondant au stabilisateur d'un point. En d'autres termes, le groupe de Poincaré est le produit semi-direct des translations avec les transformations de Lorentz.

Une autre façon d'introduire le groupe de Poincaré est de le présenter en tant qu'extension de groupe du groupe de Lorentz par une représentation linéaire de celui-ci.

Ses représentations irréductibles et unitaires d'énergie positive sont caractérisées par la masse (nombre réel positif) et le spin (entier ou demi-entier), qui sont aussi associés à des particules en mécanique quantique.

En accord avec le programme d'Erlangen, la géométrie dans un espace de Minkowski est définie suivant le groupe de Poincaré : un espace de Minkowski est considéré comme un espace homogène pour ce groupe.

Le groupe de Poincaré est un groupe symétrique pour toute théorie relativiste. D'après le théorème de Noether cela implique que toutes les particules élémentaires ont les mêmes invariants associés qui permettent alors de les distinguer, et donc de les désigner : le quadri-moment (c'est-à-dire leur masse) et les nombres quantiques intrinsèques JPC, avec J représentant le spin, P la parité et C le nombre quantique de symétrie C.

Algèbre de Poincaré[modifier | modifier le code]

L'algèbre de Poincaré est l'algèbre de Lie du groupe de Poincaré. En composantes, le crochet de Lie est donné par les relations suivantes:

  • [P_\mu, P_\nu] = 0\,
  • [M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,
  • [M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,

P est le générateur de cette translation, M est le générateur des transformations de Lorentz et \eta est la métrique de Minkowski.

Articles connexes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Poincaré group » (voir la liste des auteurs)