Groupe de Heisenberg

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En géométrie différentielle, le groupe de Heisenberg, nommé en l'honneur de Werner Heisenberg, est le groupe de Lie réel de dimension 3, sous-groupe de GL_3(R) des matrices de la forme :


\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.
a,b,c\in R

Il est usuellement noté H_3(R).

Structure de groupe[modifier | modifier le code]

H_3(R) est un groupe de Lie nilpotent.

Il admet un réseau : le groupe de Heisenberg discret, noté H_3(Z). C'est le groupe des matrices de la forme :


\begin{pmatrix}
 1 & m & n\\
 0 & 1 & p\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\quad
m,n,p\in Z

Ce groupe H_3(Z) est un groupe nilpotent non abélien engendré par deux générateurs, à savoir :


x=
\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
,\quad y=
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

et les relations z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, et yz=zy. L'élément z s'écrit :

z=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

Par le théorème de Bass, il a une croissance polynomiale d'ordre 4.

Paramétrage par \mathbb{R}^3[modifier | modifier le code]

Ce groupe peut clairement être paramétré par \mathbb{R}^3. Le groupe s'identifie alors à \mathbb{R}^3 muni du produit (x,y,z)(x',y',z')  = (x + x', y + y', z + z' + xy'), en posant


(x,y,z) \simeq
\begin{pmatrix}
 1 & x & z\\
 0 & 1 & y\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.
x,y,z\in \mathbb{R}


Dans ce paramétrage, l'inverse de (x,y,z) est (-x,-y,-z+xy).

Géométrie symplectique linéaire[modifier | modifier le code]

Plus généralement, un groupe de Heisenberg peut être construit à partir d'un espace vectoriel symplectique (V,\omega) (\omega est une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur V. Le groupe de Heisenberg H(V) est l'espace topologique V\times R muni de la loi de groupe :

 (v_1,t_1)*(v_2,t_2)=(v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2))

Le groupe de Heisenberg est une extension du groupe additif V. L'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace vectoriel h(V)=V\oplus R, muni du crochet de Lie :

 [(v_1,t_1),(v_2,t_2)]=(0,\omega(v_1,v_2))