Groupe de Carnot

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Un groupe de Carnot est un groupe de Lie réel, nilpotent et stratifié. On peut considérer les groupes de Carnot comme des « espaces vectoriels non commutatifs » (les espaces vectoriels sont les seuls groupes de Carnot commutatifs). L'exemple le plus simple d'un groupe de Carnot non trivial est le groupe de Heisenberg.

Algèbre de Lie[modifier | modifier le code]

Une algèbre de Lie \mathfrak n est dite nilpotente s'il existe s tel que \mathfrak n^{s+1}=\{0\}, où \mathfrak n^{i} est défini récursivement par \mathfrak n^{i+1}=[\mathfrak n,\mathfrak n^{i}] pour tout i\geq1 et \mathfrak n^{1}=\mathfrak n. On dispose donc d'une suite descendante \mathfrak{n}=\mathfrak{n^1}\supset...\supset\mathfrak{n^s}\supset\mathfrak{n^{s+1}}=\{0\}.

Cette algèbre de Lie est de plus stratifiée s'il existe un sous-espace V satisfaisant pour tout i\geq 1, \mathfrak{n}^{i}=\mathfrak{n}^{i+1}\oplus V^iV^{i+1}=[V,V^i] pour i\geq 1 et V^1=V. Ainsi si X_1,...,X_k représente une base de V, les vecteurs de la forme [X_{i_1},[X_{i_2},[...,[X_{i_{l-1}},X_{i_l}]]]] engendrent l'algèbre complète (ici l\in\{1,\ldots,s\} et X_{i_j} est un élément de la base pour tout j\in\{1,\ldots,l\}).

Les algèbres de Lie des groupes de Carnot possède des morphismes particuliers D_\lambda, appelés dilatations. Ceux-ci sont paramétrés par \lambda>0 de telle façon que V^i soit un espace propre de valeur propre \lambda^i.

Groupe de Lie[modifier | modifier le code]

Un groupe de Carnot est groupe simplement connexe dont l'algèbre de Lie est telle que décrite précédemment. On peut identifier un groupe de Carnot à son algèbre de Lie en utilisant la formule de Baker-Campbell-Hausdorff (en).

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) John Mitchell, « On Carnot-Carathéodory metrics », Journal of Differential Geometry, vol. 21, no  1, 1985, p. 35-45 [lire en ligne].
  • Pierre Pansu, Géométrie du groupe d'Heisenberg, thèse de l'Université Paris VII, 1982, [lire en ligne]
  • Pierre Pansu, « Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un », Annals of Mathematics, vol. 129, no  1, 1989, p. 1-60
  • (en) Mikhael Gromov, « Carnot-Carathéodory spaces seen from within », dans André Bellaïche et Jean-Jacques Risler, Sub-Riemannian geometry, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 144),‎ 1996 (ISBN 978-3-7643-5476-3, lire en ligne), p. 79-323
  • (en) Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), 2002, AMS (ISBN 0-8218-1391-9).
  • (en) Gerald B. Folland (en) et Elias M. Stein, Hardy spaces on Homogeneous groups.
  • (en) A. Bonfiglioli, E. Lanconelli et F. Ugguzzoni, Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians.
  • (en) Le Donne Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, [lire en ligne]