Groupe ax + b

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En mathématiques, le groupe a x + b est un groupe défini par :

  • les éléments de G sont les couples de réels (a,b) avec a non nul
  • la loi de composition interne est :
(a,b)(a',b') = (a a', a b' + b)

Il est alors facile de voir que (1,0) est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de (a,b) est (1/a,-b/a).

Ce groupe peut également se représenter comme :

  • le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
  • le sous groupe du groupe linéaire GL2(ℝ) constitué des éléments de la forme :
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 1 \end{array}\right)

Fonction modulaire[modifier | modifier le code]

Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.

Une mesure de Haar à gauche est \mathrm dg=\frac1{|a|^2}\mathrm da\mathrm db. Une mesure de Haar à droite est \mathrm dg=\frac1{|a|}\mathrm da\mathrm db.

Nous obtenons donc une fonction modulaire :

\Delta(a,b)=\frac1{|a|}.

Représentations unitaires irréductibles[modifier | modifier le code]

Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition a>0, les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :

  1. les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
  2. l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur \mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}) par
(a \cdot f)(x) = a^{1/2} f(a x)

et

(b \cdot f)(x) = f(x+b)

Références[modifier | modifier le code]

  • Yvette Kosmann-Schwarzbach (en), Groupes et symétries, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
  • Pierre Eymard et Marianne Terp, « La transformation de Fourier et son inverse sur le groupe des ax+b d'un corps local », dans Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie II, Springer,‎ 1979 (lien DOI?), p. 207-248
  • (en) I. Gelfand et M. Neumark, « Unitary representations of the group of linear transformations of the straight line », C. R. (Doklady) Acad. Sci URSS (N.S.), vol. 55,‎ 1947, p. 567-570