Graphe tesseract

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Graphe tesseract
Image illustrative de l'article Graphe tesseract
Une représentation du graphe tesseract.

Nombre de sommets 16
Nombre d'arêtes 32
Distribution des degrés 4-régulier
Rayon 4
Diamètre 4
Maille 4
Automorphismes 384
Nombre chromatique 2
Indice chromatique 4
Propriétés Arête-transitif (en)
Biparti
Distance-régulier
Hamiltonien
Parfait
Régulier
Sommet-transitif (en)
Intégral
Graphe de Cayley
Distance-unité

Le graphe tesseract est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 16 sommets et 32 arêtes.

Construction[modifier | modifier le code]

Une façon de construire le graphe tesseract est de le considérer comme le squelette de l'hypercube en dimension 4, un solide appelé tesseract. On peut alors le définir comme le produit cartésien[1] de 4 graphes complets K_2, soit :

Q_4 =K_2 \square K_2 \square K_2\square K_2

Il peut être également obtenu par produit cartésien du graphe hexaédrique et du graphe complet K_2, soit :

Q_4 =Q_3 \square K_2

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe tesseract, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe tesseract est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe tesseract est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2 et est de degrés 16. Il est égal à : (x-1) x (x^{14}-31 x^{13}+465 x^{12}-4471 x^{11}+30793 x^{10}-160807 x^9+657229 x^8-2137667 x^7+5564285 x^6-11536667 x^5+18740317 x^4-23081607 x^3+20308039 x^2-11372201 x+3040575).

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le graphe tesseract est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Il est donc également arête-transitif (en) et sommet-transitif (en). C'est l'unique graphe symétrique régulier de degrés 4 à 16 sommets[2].

Le groupe d'automorphisme \Gamma(Q_4) du graphe tesseract est d'ordre 384 et est isomorphe au produit en couronne des groupes symétriques S_2 et S_4 : S_2 \wr S_4[3]. Le produit en couronne de A et B étant défini comme le produit semi-direct A \wr B = A^B \rtimes BA^B est l'ensemble des fonctions de A dans B et où A agit sur A^B par décalage d'indice :

(g.\lambda)(s)= \lambda (g^{-1}s) pour g \in A et \lambda \in A^B.

L'hypercube Q_4 est un graphe de Cayley Cay(G, S) avec :

G =(\Z/2\Z)\times(\Z/2\Z)\times(\Z/2\Z)\times(\Z/2\Z),
S=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.

Cela découle d'une propriété plus générale statuant que tous les graphes de Hamming sont des graphes de Cayley[4].

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe tesseract est : (x-4) (x-2)^4 x^6 (x+2)^4 (x+4). Un autre graphe possède le même polynôme caractéristique, et donc le même spectre : le graphe de Hoffman. Le graphe tesseract et le graphe de Hoffman sont donc cospectraux. Par ailleurs ce polynôme caractéristique n'admet que des racines entières. Le graphe tesseract est donc un graphe intégral, un graphe dont le spectre est constitué d'entiers.

Références[modifier | modifier le code]

  1. J.-C. Bermond et al., Communications dans les réseaux de processeurs, Masson, 1994 (ISBN 978-2-22584410-2). Paru sous le pseudonyme Jean de Rumeur.
  2. (en) Number of symmetric quartic graphs on n nodes : suite A087101 de l'OEIS
  3. (en) F. Harary (en), « The Automorphism Group of a Hypercube », Journal of Universal Computer Science, vol. 6,‎ 2000, p. 136-138
  4. (en) Cai Heng Li, « Cayley graph », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Tesseract Graph », MathWorld