Graphe dense

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, un graphe dense (dense graph) est un graphe dans lequel le nombre d'arêtes (ou d'arcs) est proche du nombre maximal. De manière informelle, la densité représente « à quel point tout le monde est lié ».

Le contraire d'un graphe dense, avec un faible nombre d'arêtes (ou d'arcs), est un graphe creux (sparse graph).

La distinction entre graphe creux et dense est plutôt vague et dépend du contexte.

Densité d'un graphe[modifier | modifier le code]

Définition usuelle[modifier | modifier le code]

La densité d'un graphe est définie par le rapport entre le nombre d'arêtes (ou d'arcs) divisé par le nombre d'arêtes (ou d'arcs) possibles.

Dans le cas d'un graphe non orienté simple G = (V, E), la densité est le rapport :

D = \frac{2 \  |E|}{|V| \cdot (|V| - 1)}

Le numérateur compte le nombre d'arêtes existantes et le multiplie par deux, étant donné que chaque arête est liée à une paire de sommets. Le dénominateur dénombre le total d'arêtes nécessaires pour que chaque sommet soit relié à tous les autres (complétude). On calcule n (n-1) et non n^2, car, dans un graphe simple, les arêtes relient deux sommets différents.

La densité 0 correspond au graphe où tous les sommets sont isolés, et la densité 1 au graphe complet[1].

Notion proche[modifier | modifier le code]

Une autre mesure de la densité d'un graphe est l'arboricité qui compte le nombre minimal de forets nécessaires pour couvrir le graphe.

Aspects combinatoires[modifier | modifier le code]

La notion de densité apparaît en combinatoire, notamment dans le lemme de régularité de Szemerédi.

Aspects algorithmique[modifier | modifier le code]

Structures de donnée[modifier | modifier le code]

Les structures de données utilisées pour représenter des graphes peuvent être adaptées à la densité du graphe. En particulier, les graphes denses sont plutôt représentés par des matrices d'adjacence, alors que les graphes creux sont plutôt représentés par des listes d'adjacence.

Problème du graphe le plus dense[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs problèmes algorithmiques appelé problème du graphe le plus dense (densest subgraph). L'un deux est le problème du k-sous-graphe le plus dense, c'est à dire le graphe sur k sommets étant le plus dense, c'est un problème NP-complet, même restreint aux graphes bipartis et aux graphes cordaux[2].

Références[modifier | modifier le code]

  1. Satu Elisa Schaeffer, Graph clustering, Computer science review 1 (2007), p. 29
  2. D.G. Corneil et Y. Perl, « Clustering and domination in perfect graphs », Discrete Applied Mathematics, vol. 9, no 1,‎ 1984, p. 27 - 39

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]