Graphe de Tietze

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Graphe de Tietze
Image illustrative de l'article Graphe de Tietze
Représentation du graphe de Tietze.

Nombre de sommets 12
Nombre d'arêtes 18
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 3
Diamètre 3
Maille 3
Automorphismes 12 (D6)
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 4
Propriétés Cubique
Snark

Le graphe de Tietze est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 12 sommets et 18 arêtes. Il est remarquable notamment pour ses propriétés de coloration.

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe de Tietze, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Tietze est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Tietze est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Tietze est un groupe d'ordre 12 isomorphe au groupe diédral D6, le groupe des isométries du plan conservant un hexagone régulier. Ce groupe est constitué de 6 éléments correspondant aux rotations et de 6 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Tietze est : (x-3) (x-2) (x-1)^2 (x+1)^3 (x+2) (x^2+x-3)^2.

Plongement sur le tore et coloration[modifier | modifier le code]

Coloration d'un tore dont les frontières forment le graphe de Tietze

Le graphe de Tietze peut être plongé sur un tore. Les faces du graphe ont alors la propriété qu'elles se touchent toutes deux à deux. Ceci a pour conséquence qu'une coloration d'un graphe plongeable sur un tore peut nécessiter six couleurs, ce qui contraste avec le théorème des quatre couleurs dans le cas des graphes planaires[1].


Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Heinrich Tietze, « Einige Bemerkungen zum Problem des Kartenfärbens auf einseitigen Flächen » [« Some remarks on the problem of map coloring on one-sided surfaces »], DMV Annual Report, vol. 19,‎ 1910, p. 155-159 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]