Graphe de Harries-Wong

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Graphe de Harries-Wong
Image illustrative de l'article Graphe de Harries-Wong
Représentation du graphe de Harries-Wong.

Nombre de sommets 70
Nombre d'arêtes 105
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 6
Diamètre 6
Maille 10
Automorphismes 24 (S4)
Nombre chromatique 2
Indice chromatique 3
Propriétés Cubique
Cage
Sans triangle
Hamiltonien

Le graphe de Harries-Wong est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 70 sommets et 105 arêtes.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le graphe de Harries-Wong est une (3,10)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 10 et étant régulier de degrés 3. La première cage de ce type à avoir été découverte est la 10-cage de Balaban, dont la description fut publiée en 1972[1]. La liste complète des (3-10)-cages a été donnée par O'Keefe et Wong en 1980[2]. Il en existe trois distinctes, les deux autres étant le graphe de Harries et la 10-cage de Balaban sus-citée[3].

Le diamètre du graphe de Harries-Wong, l'excentricité maximale de ses sommets, est 6, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 10. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes. Comme il est régulier de degrés 3 ce nombre est optimal. Le graphe de Harries-Wong est donc un graphe optimalement connecté.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Harries-Wongest 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 1-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Harries-Wong est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Harries-Wong est un groupe d'ordre 24 isomorphe au groupe symétrique S4.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Harries-Wong est : (x-3) (x-1)^4 (x+1)^4 (x+3) (x^2-6) (x^2-2) (x^4-6x^2+2)^5 (x^4-6x^2+3)^4 (x^4-6x^2+6)^5.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. T. Balaban, A trivalent graph of girth ten, J. Combinatorial Theory, Set. B, 12:1-5, 1972
  2. (en) M. O'Keefe et P.K. Wong, A smallest graph of girth 10 and valency 3, J. Combin. Theory Ser. B 29 (1980) 91-105.
  3. (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 237, 1976.