Graphe de Frucht

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graphe de Frucht
Image illustrative de l'article Graphe de Frucht
Le graphe de Frucht

Nombre de sommets 12
Nombre d'arêtes 18
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 3
Diamètre 4
Maille 3
Automorphismes 1 ({id})
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 3
Propriétés Cubique
Hamiltonien
Planaire
Asymétrique

Le graphe de Frucht est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 12 sommets et 18 arêtes[1]. C'est le plus petit graphe cubique dont le groupe d'automorphismes ne contienne que l'élément neutre[2]. En d'autre termes, c'est le plus petit graphe régulier de degré trois étant un graphe asymétrique. Il est décrit pour la première fois en 1939 par Robert Frucht, d'où son nom[3].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le graphe de Frucht est planaire et hamiltonien. C'est aussi un cas de graphe de Halin.

Le diamètre du graphe de Frucht, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Frucht est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de tel façon que deux sommets reliés par une arêtes soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Frucht est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommets soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3 et est de degrés 12. Il est égal à : (x-2) (x-1) x (x^9-15 x^8+103 x^7-428 x^6+1196 x^5-2355 x^4+3311 x^3-3259 x^2+2077 x-663).

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Frucht ne contienne que l'élément neutre. Il est donc d'ordre 1. Cela fait du graphe de Frucht un graphe asymétrique.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Frucht est : (x-3) (x-2) x (x+1) (x+2) (x^3+x^2-2 x-1) (x^4+x^3-6 x^2-5 x+4).

Galerie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Weisstein, Eric W "Frucht Graph." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  2. (en) Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990
  3. (de) "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe." Compos. Math. 6, 239-250, 1939