Graphe de Doyle

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Graphe de Doyle
Image illustrative de l'article Graphe de Doyle
Représentation du graphe de Doyle

Nombre de sommets 27
Nombre d'arêtes 54
Distribution des degrés 4-régulier
Rayon 3
Diamètre 3
Maille 5
Automorphismes 54
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 5
Propriétés Régulier
Eulérien
Hamiltonien
Cayley
Sommet-transitif
Arête-transitif

Le graphe de Doyle (ou graphe de Holt) est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 27 sommets et 54 arêtes. C'est le plus petit graphe exemple de graphe étant sommet-transitif et arête-transitif mais pas symétrique[1],[2]. De tels graphes sont rares[3]. Il doit son nom à Peter G. Doyle et Derek F. Holt qui le découvrirent tous deux de façon indépendante en 1976[4] et 1981[5] respectivement.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe de Doyle, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 5. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

C'est également un graphe hamiltonien avec 98 472 cycles hamiltoniens distincts.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Doyle est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Doyle est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Doyle est un groupe d'ordre 54.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Doyle est : -(x-4) (x-1)^4 (x+2)^4 (x^3-6 x+2)^6.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Doyle, P. "A 27-Vertex Graph That Is Vertex-Transitive and Edge-Transitive But Not L-Transitive." October 1998. [1]
  2. (en) Brian Alspach, Dragan Marušič et Lewis Nowitz, « Constructing Graphs which are ½-Transitive », Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), vol. 56, no 3,‎ 1994, p. 391–402 (lien DOI?, lire en ligne).
  3. Jonathan L. Gross, Jay Yellen, Handbook of Graph Theory, CRC Press, 2004, ISBN 1-58488-090-2, p. 491.
  4. P. G. Doyle On Transitive Graphs, Senior Thesis, 1976, Harvard College.
  5. (en) Derek F. Holt, « A graph which is edge transitive but not arc transitive », Journal of Graph Theory, vol. 5, no 2,‎ 1981, p. 201–204 (lien DOI?).