Graphe d'une fonction

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Graphe d'une fonction\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,~1{,}5] \to [-1,~1{,}5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}

Le graphe d'une fonction f de E dans F est le sous-ensemble G de E×F formé par les couples d'éléments liés par la correspondance :

G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}.

Cet ensemble est appelé le graphe de f parce qu'il permet d'en donner une représentation graphique dans le cas usuel où E et F sont des ensembles de réels : en effet, on peut alors parfois représenter E et F sur deux axes sécants, chaque couple de G peut alors être représenté par un point dans le plan, muni d'un repère défini par les deux axes. On parle aussi de courbe représentative de la fonction.

Si E est le plan R2 (ou C) et F est l'ensemble des réels, le graphe de la fonction est une surface gauche dans l'espace euclidien à 3 dimensions.

Il est possible alors de se ramener à une représentation plane en considérant des courbes de niveau, c'est-à-dire en dessinant dans le plan de départ une carte altimétrique du relief de la surface gauche.

Lorsque E et F sont des espaces topologiques, F étant séparé, si l'application f est continue alors son graphe est fermé dans E×F. La réciproque est fausse, comme en témoigne l'application de dans ℝ qui à x associe 0 si x ≤ 0 et 1/x si x > 0. Elle est vraie cependant si F est quasi-compact. Ces deux implications se généralisent aux fonctions multivaluées.

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