Graphe d'Errera

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Graphe d'Errera
Image illustrative de l'article Graphe d'Errera
Représentation du graphe d'Errera

Nombre de sommets 17
Nombre d'arêtes 45
Distribution des degrés 5 (12 sommets)
6 (5 sommets)
Rayon 3
Diamètre 4
Maille 3
Automorphismes 20
Nombre chromatique 4
Indice chromatique 6
Propriétés Hamiltonien
Planaire

Le graphe d'Errera est, en théorie des graphes, un graphe planaire possédant 17 sommets et 45 arêtes découvert par le mathématicien français Alfred Errera dans son mémoire de thèse[1].

Histoire[modifier | modifier le code]

En 1879, Alfred Kempe publie une preuve du théorème des quatre couleurs, une des grandes conjectures de la théorie des graphes[2]. Bien que le théorème soit vrai, la démonstration de Kempe, basée sur les propriétés d'une chaine particulière, est erronée. Heawood le prouve en 1890[3] (avec le graphe 4-chromatique de Heawood comme exemple) et Vallée Poussin arrive au même résultat en 1896 (avec le graphe de Poussin comme exemple)[4]. Bien que la preuve de Kempe soit fausse, les chaines de Kempe restent utiles en théorie des graphes et les exemples contredisant la preuve de Kempe intéressent toujours les mathématiciens.

En 1921, Errera exhibe un nouvel exemple à 17 sommets[1],[5]. Cet exemple porte désormais son nom.

D'autres contre-exemple de ce type sont par la suite exhibés : d'abord le graphe de Kittell en 1935, avec 23 sommets[6], puis deux contre-exemples minimaux : le graphe de Soifer en 1997 et le graphe de Fritsch en 1998, tous deux d'ordre 9[7],[8],[9].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe d'Errera, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 5-sommet-connexe et d'un graphe 5-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 5 sommets ou de 5 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe d'Errera est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe d'Errera est 6. Il existe donc une 6-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degré 17. Il est égal à : (x-3) (x-2) (x-1) x (x^{13}-39 x^{12}+715 x^{11}-8175 x^{10}+65178 x^9-383551 x^8+1718041 x^7-5944840 x^6+15922746 x^5-32648195 x^4+49825808 x^3-53536411 x^2+36201540 x-11587640).

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe d'Errera est un groupe d'ordre 20 isomorphe au groupe diédral D10, le groupe des isométries du plan conservant un décagone régulier. Ce groupe est constitué de 10 éléments correspondant aux rotations et de 10 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'incidence du graphe d'Errera est : -(x^2-2 x-5) (x^2+x-1)^2 (x^3-4 x^2-9 x+10) (x^4+2 x^3-7 x^2-18 x-9)^2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Errera, A. "Du coloriage des cartes et de quelques questions d'analysis situs." Ph.D. thesis. 1921.
  2. Kempe, A. B. "On the Geographical Problem of Four-Colors." Amer. J. Math. 2, 193-200, 1879.
  3. P. J. Heawood, "Map colour theorem", Quart. J. Pure Appl. Math. 24 (1890), 332–338.
  4. R. A. Wilson, Graphs, colourings and the four-colour theorem, Oxford University Press, Oxford, 2002. MR 2003c:05095 Zbl 1007.05002.
  5. Peter Heinig. Proof that the Errera Graph is a narrow Kempe-Impasse. 2007.
  6. Kittell, I. "A Group of Operations on a Partially Colored Map." Bull. Amer. Math. Soc. 41, 407-413, 1935.
  7. A. Soifer, “Map coloring in the victorian age: problems and history”, Mathematics Competitions 10 (1997), 20–31.
  8. R. Fritsch and G. Fritsch, The Four-Color Theorem, Springer, New York, 1998. MR 99i:05079.
  9. Gethner, E. and Springer, W. M. II. "How False Is Kempe's Proof of the Four-Color Theorem?" Congr. Numer. 164, 159-175, 2003.