Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (ci-après FLRW) permet de décrire un espace-temps de géométrie homogène et isotrope. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang.

Suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon les noms d'une partie des quatre scientifiques : Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker. On trouvera par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW), Friedmann-Lemaître (FL), ...

Évolution de l'univers selon la métrique FLRW

La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.

Formulation mathématique

En coordonnées sphériques $(r, \theta, \phi) \;$, l'élément de longueur d'espace-temps ds, pour la métrique FLRW, se note :

${\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - k r^2} + r^2 {\rm d}\Omega^2 \right )$

en choisisssant la signature de la métrique (en) ( + − − − ) avec :

• $R(t) \;$ le rayon de courbure de l'univers. Le signe de $\dot{R}(t)$ renseigne sur l'évolution de l'univers : $\dot{R}(t) > 0$ pour un univers en expansion, $\dot{R}(t) < 0$ pour un univers en contraction et $\dot{R}(t) = 0$ pour univers statique, le tout considéré au temps t ;

• $k \;$ la courbure de l'espace. k = { − 1,0,1} pour un espace respectivement à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique), à courbure plate (correspondant à la géométrie euclidienne usuelle) et à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique) ;

• $\textstyle {\rm d}\Omega^2 = {\rm d}\theta^2 + \sin^2 \theta \; {\rm d} \phi^2$ l'angle solide.

En introduisant le changement de coordonnées : $\begin{cases} r = \sin (\chi/R_0) & \textrm{si\ } k = 1 \\ r = \chi/R_0 & \textrm{si\ } k = 0\\ r = \sinh (\chi/R_0) & \textrm{si\ } k = -1\\ \end{cases}$ où $\chi \;$ permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur ds se reformule :

${\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left({\rm d}\chi^2 + S_k^2(\chi) {\rm d}\Omega^2 \right)$

avec

• $a(t) = R(t)/R(t_0) \;$ le facteur d'échelle de l'univers à l'époque t. t₀ est choisi comme le temps présent, de telle sorte que le facteur d'échelle est normalisé à l'instant présent : a(t₀) = 1.

Pour un temps t_a tel que a(t_a) = N > 1, l'univers est N fois plus grand que maintenant. Pour un temps t_b tel que a(t_b) = 1 / N < 1, l'univers est N fois plus petit que maintenant ;

• $S_k(\chi) = \begin{cases} \sin (\chi) & \textrm{si\ } k = 1 \\ \chi & \textrm{si\ } k = 0 \\ \sinh (\chi) & \textrm{si\ } k = -1 \\ \end{cases}\;$.

Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale

Dans un espace plat

Pour $k = 0 \;$, la métrique FLRW se note :

${\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left( {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) \;$

Nous retrouvons la métrique de Minkowski, caractérisant un espace euclidien.

Dans un espace de courbure positive

Pour $k = +1 \;\;$, la métrique FLRW s'écrit :

${\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )$

L'élément de longueur possédant une singularité en r = 1, on préfèrera utiliser son expression selon χ :

${\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + \sin^2 \chi \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;$

Dans un espace de courbure négative

Pour $k = -1 \;$, il vient finalement :

${\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 + r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + \sinh^2 \chi \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;$

Voir aussi

Articles connexes

• Alexandre Friedmann
• Big Bang
• Équations de Friedmann
• George Gamow
• Georges Lemaître
• Modèle standard de la cosmologie
• Relativité générale
• Univers fini de Friedmann