Formules de Binet

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En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique.

Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en K/r², les trajectoires sont des coniques.

Formules de Binet

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant u = 1/r et en notant $C = r^2 \frac{d\theta}{dt}\;$ la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :

$\vec{v} = -C\frac{du}{d\theta}\; \vec{e_r} + C u\; \vec{e_{\theta}}$ ;

$\vec{a} = -C^2 u^2 \left[ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u \right]\; \vec{e_r}$.

L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon e_r seraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.

Démonstration

On a $\vec{v} = \frac{dr\vec{e_r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r \frac{d\vec{e_r}}{dt} = \frac{d\frac{1}{u}}{dt}\vec{e_r}+\frac{1}{u}\frac{d\theta}{dt}\vec{e_{\theta}} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}\vec{e_r}+\frac{1}{u}\frac{d\theta}{dt}\vec{e_{\theta}}$

Or $\frac{du}{dt} = \frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}$ et $C = \frac{L}{m} =r^2\dot\theta = \frac{\dot\theta}{u^2}$

Donc $\vec{v} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\vec{e_r} + \frac{1}{u}Cu^2\vec{e_{\theta}} = -C\frac{du}{d\theta}\; \vec{e_r} + C u\; \vec{e_{\theta}};$

De même on dérive $\vec{v}$ pour obtenir $\vec{a}$.

$\vec{a} = -C\frac{d\frac{du}{d\theta}\; \vec{e_r}}{dt} + C\frac{du\vec{e_{\theta}}}{dt} = -C\frac{d^2u}{dtd\theta}\vec{e_r}-C\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\vec{e_{\theta}} + C\frac{du}{dt}\vec{e_{\theta}} - Cu\frac{d\theta}{dt}\vec{e_r} = -C\frac{d\theta}{dt}\frac{d^2u}{d\theta^2}\vec{e_r} - Cu\frac{d\theta}{dt}\vec{e_r}$ $= -C^2 u^2 \left[ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u \right]\; \vec{e_r}$

Trajectoires coniques

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :

$m \vec{a} = -k \cdot \frac{1}{r^2}\; \vec{e_r}$.

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant 1/r par u, puis enfin en projetant selon e_r, on a :

$m C^2 \left[ \frac{d^2u}{d \theta^2} + u \right] = k$, soit encore :

$\frac{d^2u}{d \theta^2} + u = \frac{k}{mC^2}$.

Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :

u(θ) = Acos(θ + ϕ) + B.

En revenant à l'expression de r, on a :

$r(\theta) = \frac{1}{B + A \cos(\theta + \phi)}$.

C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.