Formule sommatoire d'Abel

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Page d'aide sur les redirections Pour d'autres théorèmes de Niels Henrik Abel, voir Théorème d'Abel.

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient \scriptstyle (a_n)_{n\in\N^*} une suite de nombres réels ou complexes et \scriptstyle\varphi une fonction réelle ou complexe de classe C1.

On pose

A(x) = \sum_{1\le n \le x}{a_n}.

Alors, pour tout réel x,

\sum_{1\le n\le x}a_n\varphi(n)=A(x)\varphi(x)-\int_1^xA(u)\varphi'(u)\mathrm du.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.

La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1, l'équation se résume à 0 = 0.

Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A(x) = A(N)). La formule de sommation par parties donne :

\begin{align}\sum_{1\le n\le x}{a_n\varphi(n)}-A(x)\varphi(x)&=A(N)\varphi(N)-\sum_{n=1}^{N-1}A(n)\big(\varphi(n+1)-\varphi(n)\big)-A(x)\varphi(x)\\
&=-\sum_{n=1}^{N-1}A(n)\big(\varphi(n+1)-\varphi(n))\big)-A(N)\big(\varphi(x)-\varphi(N)\big)\\
&=-\sum_{n=1}^{N-1}\int_n^{n+1}A(u)\varphi'(u)\mathrm du-\int_N^xA(u)\varphi'(u)\mathrm du\\
&=-\int_1^xA(u)\varphi'(u)\mathrm du.
\end{align}

Exemples[modifier | modifier le code]

Constante d'Euler-Mascheroni[modifier | modifier le code]

Pour \scriptstyle a_n=1 et \scriptstyle\varphi(u)=1/u, en notant \scriptstyle\lfloor x\rfloor la partie entière de x, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :

\sum_{1\le n \le x}\frac1n=\frac{\lfloor x\rfloor}x+\int_1^x{\frac{\lfloor u\rfloor}{u^2}\mathrm du}

dont on déduit une représentation intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni.

Séries de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Pour toute série de Dirichlet classique

f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac {a_n}{n^s},

la formule sommatoire d'Abel, appliquée à \scriptstyle\varphi(u)=u^{-s}, montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série[1] :

f(s)=s\int_1^\infty\frac{A(u)}{u^{1+s}}\mathrm du.

Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Pour \scriptstyle a_n=1 on obtient :

\sum_1^\infty\frac1{n^s}=s\int_1^\infty\frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}}\mathrm du.

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.

Inverse de la fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Pour \scriptstyle a_n=\mu(n) (la fonction de Möbius) :

 \sum_1^\infty{\frac{\mu(n)}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{M(u)}{u^{1+s}}\mathrm{d}u}

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. Le symbole M désigne la fonction de Mertens, définie par

M(u) = \sum_{1\le n \le u}{\mu(n)}.

Note[modifier | modifier le code]

  1. C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.