Formule de Machin

La formule de Machin fut découverte en 1706 par John Machin et relie le nombre π à la fonction trigonométrique arctangente :

${\pi \over 4} = 4 \arctan {1 \over 5} - \arctan {1 \over 239}.$

Cette formule permet de calculer une approximation du nombre π grâce au développement en série entière de la fonction arctangente. John Machin l'utilisa pour obtenir les cent premières décimales de π.

Démonstration

Il est possible de démontrer la formule de Machin, en utilisant la relation trigonométrique élémentaire suivante :

$\tan (a + b) = {{\tan a + \tan b} \over {1- \tan a \times \tan b}}$

En posant $\theta = \arctan {1 \over 5}$, on en déduit alors successivement :

$\tan 2\theta = {{2 \over 5} \over {1 - {1 \over 25}}} = {{5} \over {12}}$

$\tan 4\theta = {{5 \over 6} \over {1- {25 \over 144}}} = {120 \over 119}$

$\tan (4\theta - { \pi \over 4}) = {{{120 \over 119} - 1} \over {1+ {120 \over 119} \times 1}} ={1 \over 239}$

On doit ensuite montrer que $\arctan(\tan(4\theta - { \pi \over 4}))=4\theta - { \pi \over 4}$ en effet $\tan(\arctan(x))= x$ mais l'on n'a pas nécessairement $\arctan(\tan(x))= x$

Puisque $\theta \in ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$, que tan est une fonction strictement croissante sur cet intervalle et ${1\over 5}=\tan(\theta)<\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)={1\over \sqrt{3}}$ on en déduit: $\theta \in ]0;\frac{\pi}{6}[$, d'où: $4\theta - { \pi \over 4} \in ]-\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12}[$. Cet intervalle est compris dans l'intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ et on a donc :$\arctan(\tan(4\theta - { \pi \over 4}))=4\theta - { \pi \over 4}$ Ceci permet de passer à l'arctan et on a:

${\pi \over 4} = 4\times\arctan{1 \over 5} - \arctan {1 \over 239}$

Une façon moderne de présenter le résultat est de le relier aux propriétés des nombres complexes. La formule de Machin découle alors de l'identité suivante entre nombres complexes :

${(5+i)^4 \over(239+i)}=2\times(1+i)$

En effet, on peut montrer l'équivalence suivante :

$m\arctan{1 \over x} + \arctan {1 \over y} \equiv {\pi \over 4} [\pi] \Leftrightarrow (x+i)^m(y+i)e^{-i{\pi \over 4}} \in \mathbb{R}$

Ceci permet de conclure en remarquant que l'on peut encore remplacer $(y+i)$ par $1 \over (-y+i)$ et en vérifiant l'encadrement comme plus haut.

Utilisation

Le développement de arctan en série entière fournit la méthode de calcul suivante :

${\pi \over 4}= 4\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2n+1}} \over {2n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n {{\left( \frac{1}{239} \right)}^{2n+1}} \over {2n+1}}$

Formules du type de Machin

D'autres formules du même type ont été découvertes, et on appelle « formules du type de Machin » les formules de la forme :

$\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n}$

où les $a_n$ et les $b_n$ sont des entiers.

Il existe trois autres formules du type de Machin avec deux termes seulement. Elles ont été découvertes respectivement par Euler, Hermann et Hutton :

$\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}$,

$\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}$,

$\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}$.

Elles découlent respectivement des identités suivantes entre nombres complexes :

${(2+i)\,(3+i)}=5\,(1+i)$

${(2+i)^2 \over(7+i)}={1 \over 2}\,(1+i)$

${(3+i)^2\,(7+i)}=50\,(1+i)$

Il est en fait possible de construire une infinité de formules de ce type en utilisant plus de termes, mais seules les formules les plus efficaces historiquement pour calculer le nombre $\pi$ sont devenues célèbres.

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{18} + 8 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239}$

(Carl Friedrich Gauss)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$

(Carl Stormer, 1896).

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$

(Kikuo Takano, 1982).

La recherche de formules de Machin efficaces se fait désormais par une recherche systématique à l'aide d'ordinateurs. Les formules les plus efficaces du type de Machin actuellement connues pour calculer $\pi$ sont :

$\begin{align} \frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{110443}\\ & - 12\arctan\frac{1}{4841182} - 100\arctan\frac{1}{6826318}\\ \end{align}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih, 1997).

$\begin{align} \frac{\pi}{4} =& 183\arctan\frac{1}{239} + 32\arctan\frac{1}{1023} - 68\arctan\frac{1}{5832} + 12\arctan\frac{1}{113021}\\ & - 100\arctan\frac{1}{6826318} - 12\arctan\frac{1}{33366019650} + 12\arctan\frac{1}{43599522992503626068}\\ \end{align}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih, 2003).

Il existe d'autres formules qui convergent plus rapidement vers le nombre $\pi$, comme la formule de Ramanujan, mais elles ne sont pas du type de Machin.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Machin-like formula » (voir la liste des auteurs)