Formule de Brahmagupta

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En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

p = \frac 12 (a+b+c+d) \, est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire.

Démonstration[modifier | modifier le code]

ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់.png

En suivant les notations de la figure, l'aire S du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles (ADB) et (BDC) :

S= \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C

mais comme (ABCD) est inscriptible, les angles en A et C sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : S = \frac{1}{2}\sin A (ab + cd)

d'où en élevant au carré : 4S^2 = (ab+ cd)^2 - \cos^2 A (ab+ cd)^2 \,

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles (ADB) and (BDC) et en égalant les expressions du côté commun DB, on obtient :

a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C \,

ce qui s'écrit puisque les angles A et C sont supplémentaires :

2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. \,

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 \,

=(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 +d^2) \,
= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) \,
= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d). \,

En introduisant p = \frac{a+b+c+d}{2}, on obtient :

16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) \,

d'où

S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Une autre explication de la formule de Brahmagupta par Michel Hort.