Formule d'Euler

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Formule d'Euler
\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm i\sin(\varphi)

La formule d'Euler est une égalité mathématique, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle s'écrit pour tout nombre réel x,

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos(x) + \mathrm{i}\,\sin(x)

et se généralise aux x complexes.

Ici, e est la base naturelle des logarithmes, i est l'unité imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.

Description[modifier | modifier le code]

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction x ↦ eix, appelée fonction cis[1], décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque x varie dans l'ensemble des nombres réels. x représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est basée sur les développements de la fonction exponentielle z ↦ ez de la variable complexe z et des fonctions sin et cos considérées à variables réelles. En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes x.

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

{\rm e}^{a + b}={\rm e}^a{\rm e}^b

et

({\rm e}^a)^k={\rm e}^{a k}

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes a, b et pour tout entier k), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme combinaisons linéaires de fonctions exponentielles :

\cos(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2}
\sin(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2\mathrm{i}\,}

Ces formules (aussi appelées formules d'Euler) peuvent servir de définition des fonctions trigonométriques de variable complexe x. On les obtient en écrivant deux fois la formule d'Euler :

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos(x) + \mathrm{i}\, \sin(x) \,
\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x} = \cos(x) - \mathrm{i}\, \sin(x) \,

et en additionnant ou soustrayant ces égalités pour déterminer cosinus ou sinus.

Dans les équations différentielles, la fonction x ↦ eix, est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d'autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Par les séries de Taylor[modifier | modifier le code]

Article détaillé : série de Taylor.

Le développement en série de la fonction exp de la variable réelle t peut s'écrire :

{\mathrm{e}}^t= \frac{t^0}{0\,!} + \frac{t^1}{1\,!} + \frac{t^2}{2\,!} + \frac{t^3}{3\,!} + \frac{t^4}{4\,!} + \cdots 
           = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n\,!}

et s'étend à tout nombre complexe t : le développement en série de Taylor reste absolument convergent et définit l'exponentielle complexe.

En particulier pour t = ix avec x réel :


{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}\,}x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{({\mathrm{i}\,}x)}^n}{n\,!}
       = \sum_{n=0}^\infty \frac{{\mathrm{i}\,}^n x^n}{n\,!}\cdot

Cette série, séparée en deux, devient, en utilisant que \mathrm{i}\,^{2k}=(\mathrm{i}\,^{2})^{k}=(-1)^{k} :


\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathrm{i}\,^{2k}x^{2k}}{(2k)\,!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathrm{i}\,^{2k+1}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}
=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)\,!}+\mathrm{i}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)\,!}\cdot

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus :

 \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2\,!} + \frac{x^4}{4\,!} - \frac{x^6}{6\,!} + \cdots 
              = \sum_{k=0}^\infty
           \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)\,!}
 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3\,!} + \frac{x^5}{5\,!} - \frac{x^7}{7\,!} + \cdots 
              =\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)\,!}

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de eix, donne bien :

\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos(x) + \mathrm{i}\,\sin(x).

Par le calcul différentiel[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre complexe k, la seule application f : ℝ → ℂ vérifiant f ' = kf et f(0) = 1 est l'application x ↦ exp(kx) (la démonstration est identique à celle pour k réel, donnée dans l'article détaillé).

L'application f définie par f(x)=\cos x+{\rm i}\sin x vérifie f'={\rm i}f\text{ et }f(0)=1.

Elle coïncide donc avec l'application x ↦ exp(ix).

Historique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Histoire des nombres complexes.

La formule d'Euler fut mise en évidence pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme ln(cosx + i sinx) = ix (où ln désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire le logarithme de base e)[2],[3]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur la formule de Moivre et à l'aide d'équivalents et de passages à la limite[4],[5]. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des affixes de points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).

Applications[modifier | modifier le code]

 \mathrm{Re} (V) = \mathrm{Re}\left [ V_0{\rm e}^{{\rm i}\omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Alan Sultan et Alice F. Artzt, The mathematics that every secondary school math teacher needs to know, Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, p. 326
  2. Dominique Flament, Histoire des nombres complexes : Entre algèbre et géométrie, Paris, CNRS Éditions,‎ 2003 (ISBN 2 271 06128 8) , p. 80
  3. (en) John Stillwell, Mathematics and Its History [détail des éditions], p. 294
  4. L. Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale, article 138
  5. Flament 2003, p. 83-84
  6. Voir des exemples dans : Electromagnetism (2e édition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0