Formulation faible

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En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles.

Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible.

L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev.

La formulation faible prend son sens dans le théorème de Lax-Milgram. Elle est un des fondements de la méthode des éléments finis.

Une formulation faible des équations aux dérivées partielles qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert est une formulation variationnelle. À l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de l'unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine.

Formellement[modifier | modifier le code]

Étant donné un opérateur différentiel \displaystyle R(.) et une fonction \displaystyle f définie sur un domaine ouvert \Omega, la formulation forte du problème est la suivante :

Trouver \displaystyle u définie sur \Omega vérifiant \displaystyle R(u)=f en tout point de \Omega.

Une solution \displaystyle u est naturellement solution du problème suivant (formulation faible) :

Trouver \displaystyle u définie sur \Omega vérifiant \int_\Omega R(u)\ v = \int_\Omega f\ v pour toute fonction \displaystyle v définie sur \Omega.

Selon la nature du problème, des transformations équivalentes de cette dernière égalité (par exemple une intégration par parties) permettent de faire apparaître une forme symétrique ayant la nature d’un produit scalaire (ou d’un produit hermitien dans le cas de fonctions complexes). Les deux fonctions \displaystyle u et \displaystyle v appartiennent alors à un même espace fonctionnel. Dans ce cas, la formulation faible stipule que la solution \displaystyle u est une sorte de projection de \displaystyle f dans cet espace. C’est à ce stade du développement qu’intervient le théorème de Lax-Milgram.

D’autres contraintes sur la frontière de \Omega (conditions aux limites) peuvent être imposées à \displaystyle u (et à \displaystyle v).

Exemple[modifier | modifier le code]

Dans le cadre d’un problème concret, le passage d’une formulation forte à faible est présenté dans le § « Cas organique » de l'article sur la méthode des éléments finis.

Équation de Poisson[modifier | modifier le code]

Pour un ouvert  \Omega de  \R^n, considérons l’espace  L^2(\Omega) des fonctions de carré intégrable et l’espace de Sobolev  H^k(\Omega) des fonctions dont les dérivées partielles jusqu’à l’ordre k sont dans  L^2(\Omega).

Étant donné une fonction f \in L^2(\Omega), on cherche une solution du problème suivant (formulation forte) :

\begin{cases} u \in H^2(\Omega) \\ -\Delta u = f \text{ dans } \Omega \\ u = 0 \text{ sur } \partial\Omega \end{cases}

La formulation variationnelle correspondante est la suivante :

\begin{cases} u \in H^1(\Omega) \\ A(u,v) = F(v) \; \forall v \in H^1(\Omega) \, | \, v = 0 \text{ sur } \partial\Omega \\ u = 0 \text{ sur } \partial\Omega \end{cases}

A(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v et  F(v) = \int_\Omega fv.~

Le théorème de Lax-Milgram permet ensuite de conclure à l’existence et à l’unicité d’une solution de la formulation variationnelle.

À noter qu'une solution du premier problème est toujours solution du second, alors que la réciproque n'est pas vraie (une solution dans  H^1(\Omega) peut ne pas être assez régulière pour être dans  H^2(\Omega)) : c'est d'ailleurs pour cette raison qu'une solution de la formulation variationnelle est parfois appelée solution faible (ou encore semi-faible).

Avec des conditions de bord plus générales que celles présentées ici, ce problème est plus amplement développé ici.

Source[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]