Formulaire de développement en série entière

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Ce formulaire de développement en séries recense les expressions de développement en série pour les fonction de référence. Elles sont données avec indication du rayon de convergence dans le champ complexe ou réel. La notation D(a, r) représente la boule fermée de \mathbb{C} centré en a et de rayon r et B_n est le n-ième nombre de Bernoulli.


Binômes[modifier | modifier le code]

  • \forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.
  • \forall x\in\,]-1,1[,\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.
  • \forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{\alpha}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.


Fonctions exponentielles et logarithmiques[modifier | modifier le code]

  • \forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... + \frac{x^n}{n!} + ...
  • \forall x\in\mathbb{C},\, a^x= e^{x \ln a} =\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(\ln a)^n}{n!}}x^n = 1 + \frac{\ln a}{1!}x + \frac{(\ln a )^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln a )^3}{3!}x^3 + \frac{(\ln a )^4}{4!}x^4 + ... + \frac{(\ln a )^n}{n!}x^n + ...
  • \forall x\in]-1,1],\, \ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{+{\infty}}{x^{n}\over{n}} = - \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + ...\right)
  • \forall x\in]-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n-1} \times {x^{n}\over{n}} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...


Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses[modifier | modifier le code]


Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses[modifier | modifier le code]

  • \forall x\in\mathbb{C},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2n+1}}{(2\,n+1)!}} = x + \frac{x^3}{3!} +  \frac{x^5}{5!} +  \frac{x^7}{7!} + ...
  • \forall x\in\mathbb{C},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2n}}{(2\,n)!}} = 1 +  \frac{x^2}{2!} +  \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ...
  • \forall x\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[, \operatorname{th} =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}B_n x^{2n-1} = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + ...
  • \forall x\in ]0,\pi[, \operatorname{coth} =\frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}}{(2n)!}B_n x^{2n-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 + \frac{2}{945}x^5 - ...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{argsh} \,x=x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,(-1)^n \frac{(2\,n)!}{(n!\,2^n)^2} \times \frac{x^{2n+1}}{2\,n+1} = x - \frac{1}{2\cdot 3}x^3 + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5 - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7 +...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{argch} \,x= \ln(2x) - \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{(2\,n)!}{(n!\,2^n)^2} \times \frac{1}{2n\times x^{2n}} = \ln(2x) - \frac{1}{2\cdot 2x^2} - \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 4x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6x^6} -...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{argth} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + ...
  • \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{argcoth} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,\frac{1}{2(n+1) \times x^{2n+1}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + ...


Voir aussi[modifier | modifier le code]