Forme de Liouville

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En géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur les variétés cotangentes. Sa différentielle est une forme symplectique Elle joue un rôle central en mécanique classique. L'étude de la géométrie des variétés cotangentes a son importance en géométrie symplectique, importance qui réside dans l'utilisation du théorème de Weinstein.

Si M est une variété différentielle de dimension n, T^*M désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n. La projection naturelle \pi:T^*M\rightarrow M permet de définir la forme de Liouville :

\lambda(p)=p\circ d\pi.

Une 1-forme différentielle \alpha sur M est une section de \pi et donc une application différentiable \alpha:M\rightarrow T^*M. Le tiré en arrière de \lambda par l'application \alpha est la forme \alpha :

\alpha^*\lambda=\alpha.

Cette dernière propriété caractérise uniquement \lambda.

Si q est une carte locale de M définie sur un ouvert U et (p,q) les coordonnées correspondantes, définies sur T^*U, alors \lambda s'exprime dans ces coordonnées :

\lambda=p.dq=\sum_{i=1}^np_i.dq_i.

La différentielle de \lambda est :

\omega=\pm d\lambda=\pm dp\wedge dq=\pm \sum_{i=1}^n dp_i\wedge dq_i.

Le signe dépend des auteurs. Toutefois, l'expression locale montre que \omega est une forme symplectique sur T^*M.