Force de Laplace

La force de Laplace est la force électromagnétique qu'exerce un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant.

Explication qualitative

La circulation d'un courant dans un conducteur s'accompagne d'un mouvement de porteurs de charge. Dans un champ magnétique extérieur, ces particules chargées sont soumises à une force de Lorentz:

${\vec {F}}_{Lorentz}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$

Les porteurs de charge sont alors temporairement déviés dans le conducteur. L'inhomogénéité des charges dans le conducteur conduit à l'apparition d'un champ de Hall ${\vec {E_{H}}}$. Ce champ exerce alors une force de Lorentz sur les charges fixes du conducteur (de charge $-q$):

${\vec {F}}_{H}=-q{\vec {E}}_{H}$

Il ne faut pas confondre la force de Laplace, résultante macroscopique, avec la force de Lorentz, résultante microscopique, sur une particule chargée q en mouvement à une vitesse (${\vec {v}}$) dans un champ magnétique.

La différence se situe dans la prise en compte des charges non mobiles présentes dans le matériau (ions du réseau cristallin par exemple) et qui permettent de transmettre la force de Lorentz subie par les charges mobiles à l'ensemble du matériau. Plus précisément, le champ magnétique produit un effet Hall dans le matériau. Il y a donc en plus du champ magnétique, le champ électrique dû à l'effet Hall. Pour les porteurs de charge mobiles du matériau la force de Lorentz totale est alors nulle (la somme de la partie magnétique et électrique s'annule), alors que les ions, immobiles, du réseau cristallin du matériau ne ressentent que la partie électrique de la force de Lorentz. La résultante macroscopique de cette force est la force de Laplace. Étant donné qu'il s'agit d'une force d'origine plutôt électrique, le travail de la force de Laplace est généralement non nul, alors que le travail de la partie magnétique de la force de Lorentz est toujours nul.

Expression

En utilisant l'expression du champ de Hall, la force exercée sur une charge fixe est:

${\vec {F}}_{H}=(-q)(-{\vec {v}})\wedge {\vec {B}}$

On note $S$ la section du conducteur et $n$ la densité volumique de porteurs de charge dans le conducteur. la neutralité électrique assure que $n$ est également la densité volumique de charges fixes. La force élémentaire exercée sur un élément de longueur $d{\vec {l}}$ du conducteur est alors:

$d{\vec {F}}=n\cdot S\cdot dl\cdot q\cdot {\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$

Or le déplacement des porteurs de charge est colinéaire à l'élément de longueur $d{\vec {l}}$ et la vitesse peut donc s'écrire ${\vec {v}}=v{\frac {d{\vec {l}}}{dl}}$. La force devient:

$d{\vec {F}}=qnvSd{\vec {l}}\wedge {\vec {B}}$

Comme la relation entre la vitesse des porteurs de charge et l'intensité du courant électrique est:

$I=qnvS$

L'expression de la force de Laplace est:

$d{\vec {F}}=I\cdot d{\vec {l}}\wedge {\vec {B}}\;$

On a également dans le cas d'un volume infiniment petit ($d\tau \;$) de particules chargées et avec ${\vec {j}}\;$ la densité de courant le traversant :

$d{\vec {F}}={\vec {j}}d\tau \wedge {\vec {B}}\;$

Articles connexes

• Force de Lorentz
• Électromagnétisme
• Pierre-Simon de Laplace
• Effet Hall