Fonction zêta de Hasse-Weil

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En mathématiques, la fonction zêta de Hasse-Weil attachée à une variété algébrique V définie sur un corps de nombres K est un des deux types les plus importants des fonctions L. De telles fonctions L sont appelées 'globales', elles sont définies comme des produits eulériens en termes de fonctions zêta locales. Elles forment une des deux classes majeures des fonctions L globales, l'autre étant les fonctions L associées aux représentations automorphes (en). Conjecturellement, il existe simplement un type essentiel de fonction L globale, avec deux descriptions (provenant d'une variété algébrique, provenant d'une représentation automorphe) ; ce serait une vaste généralisation de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, elle-même un résultat récent et très profond (en 2004) de la théorie des nombres.

La description d'une fonction zêta de Hasse-Weil comme produit eulérien est relativement simple, au moins à un nombre fini de facteurs près. Ceci découle des suggestions initiales de Helmut Hasse et André Weil, motivées par le cas dans lequel V est un point isolé, et les résultats de la fonction zêta de Riemann.

En prenant le cas où K est le corps ℚ des nombres rationnels, et V une variété projective non singulière, nous pouvons pour presque tous les nombres premiers p considérer la réduction de V modulo p, une variété algébrique Vp sur le corps fini Fp à p éléments, simplement en réduisant les équations pour V. De nouveau, pour presque tous les p, elle sera non singulière. Nous définissons

Z_{V,Q}(s)\,

comme étant la série de Dirichlet de la variable complexe s, qui est le produit infini de fonctions zêta locales

\zeta_{V,p}\left(p^{-s}\right)\,.

Alors Z(s), selon notre définition, n'est bien définie qu'à multiplication près par les fonctions rationnelles en un nombre fini de p^{-s}.

Puisque l'indétermination est relativement anodine, et possède un prolongement analytique partout, on peut donner un sens au fait que les propriétés de Z(s) n'en dépendent pas essentiellement. En particulier, tandis que la forme exacte de l'équation fonctionnelle pour Z(s), qui se reflète dans une droite verticale dans le plan complexe, dépend de « facteurs manquants », l'existence même d'une telle équation n'en dépend pas.

Une définition plus raffinée est devenue possible avec le développement de la cohomologie étale ; ceci explique de manière ordonnée que faire avec les facteurs de 'mauvaise réduction', manquants. Selon les principes généraux de la théorie de la ramification, les « mauvais » nombres premiers portent une bonne information (théorie du conducteur (en)). Ceux-ci se manifestent d'eux-mêmes dans la théorie étale par le critère de Ogg-Néron-Shafarevich pour la bonne réduction ; c'est-à-dire qu'il existe une bonne réduction, dans un sens défini, en tous les nombres premiers p pour lesquels la représentation galoisienne ρ sur les groupes cohomologiques étales de V est non ramifiée. Pour ceux-ci, la définition de fonction zêta locale peut être exprimée en termes de polynôme caractéristique de

\rho(Frob(p))\,

Frob(p) étant un élément de Frobenius pour p. Ce qui arrive au p ramifié est que ρ est non trivial sur le groupe d'inertie I(p) pour p. En ces nombres premiers, la définition doit être « corrigée », en prenant le plus grand quotient de la représentation ρ sur lequel le groupe d'inertie agit par la représentation triviale. Avec ce raffinement, la définition de Z(s) peut être améliorée de « presque tous » les p à tous les p participant au produit eulérien. Les conséquences pour l'équation fonctionnelle ont été établies par Jean-Pierre Serre et Pierre Deligne à la fin des années 1960 ; l'équation fonctionnelle elle-même n'a pas été démontrée en général.

Références[modifier | modifier le code]