Fonction univalente

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En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.

Exemples[modifier | modifier le code]

Toute transformation de Möbius \phi_a d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, \phi_a(z) =\frac{z-a}{1 - \bar{a}z},|a|\le 1, est univalente.

Propriétés[modifier | modifier le code]

On peut démontrer que si G et \Omega sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et

f: G \to \Omega

est une fonction univalente tel que f(G) = \Omega (c'est-à-dire que f est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de f ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de f, notée f^{-1}, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,

(f^{-1})'(f(z)) = \frac{1}{f'(z)}

pour tous z dans G

Comparaison avec les fonctions réelles[modifier | modifier le code]

Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction

f: (-1, 1) \to (-1, 1) \,

donnée par ƒ(x) = x3, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier  (−1, 1).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 (ISBN 0-387-90328-3)
  • John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 (ISBN 0-387-94460-5).

Références[modifier | modifier le code]