Fonction quasi convexe

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Une fonction quasi convexe qui n'est pas convexe.
Une fonction non quasi convexe : l'ensemble des points du domaine de la fonction pour laquelle les valeurs de la fonction sont sous les pointillés rouges est l'union des deux intervalles rouges, qui n'est pas un ensemble convexe.
La densité de probabilité de la loi normale est quasi concave mais pas concave.

En mathématiques, une fonction quasi convexe est une fonction réelle d'une variable réelle définie sur un intervalle ou sur un ensemble convexe d'espaces vectoriels réel tel que l'image réciproque de tout ensemble de la forme ]-\infty,a[ est un ensemble convexe. De manière informelle, le long d'un tronçon de la courbe le point culminant est l'une des extrémités. Le contraire d'une fonction quasi convexe est une fonction dite quasi concave.

Toute fonction convexe est aussi quasi convexe, mais toutes les fonctions quasi convexes ne sont pas convexes, la quasi-convexité est donc une généralisation de la convexité. La quasi-convexité étend la notion d'unimodalité (en) pour les fonctions avec un seul argument réel.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Une fonction f:S \to \mathbb{R} définie sur un sous-ensemble convexe S d'un espace vectoriel réel est quasi convexe si pour tous x, y \in S et \lambda \in [0,1] on a

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big(f(x),f(y)\big).

autrement dit, si f est telle que ce qui suit est toujours vraie : un point directement entre deux autres points ne doit pas donner une valeur de la fonction supérieure à la valeur de la fonction en l'un ces deux points, alors f est quasi convexe. On note que les points x et y, et le point directement entre eux, peuvent être des point sur une ligne ou plus généralement des points dans un espace de dimension n.

Un autre moyen de définir une fonction quasi convexe (voir l'introduction) f(x) est de demander que chaque sous-ensemble S_\alpha(f) = \{x|f(x) \leq \alpha\} soit un ensemble convexe.

Si de plus : f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big(f(x),f(y)\big)

Pour tout x \neq y et \lambda \in (0,1), alors f est strictement quasi convexe. C'est-à-dire, la quasi-convexité stricte exige qu'un point directement entre deux autres points doit donner une valeur plus faible de la fonction d'un des autres points.

Une fonction quasi concave est une fonction dont l'opposée est quasi convexe, et une fonction strictement quasi concave est une fonction dont l'opposée est strictement quasi convexe. De manière équivalente, une fonction f est quasi concave si

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big(f(x),f(y)\big).

et strictement quasi concave si

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big(f(x),f(y)\big)
Une fonction quasi linéaire est à la fois quasi convexe et quasi concave.
Le graphe d'une fonction qui est à la fois concave et quasi convexe sur les réels strictement positifs.

Une fonction quasi convexe (strictement) est (strictement) convexe sur la parie inférieure du contour (Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe), alors qu'une fonction (strictement) quasi concave est (strictement) convexe sur la parie supérieure du contour.

Une fonction qui est à la fois quasi convexe et quasi concave est quasi linéaire.

Un cas particulier de quasi-concavité est l'unimodalité; une fonction unimodale est quasi concave.

Preuve de quasi-convexité[modifier | modifier le code]

Prouver la quasi-convexité ou la quasi-concavité d'une fonction est souvent difficile. On note d'ailleurs que ce point est absent des cours et livres traitant du sujet.

Une possibilité consiste à utiliser une définition de la propriété recherchée (cf. ci-dessus) mais cela se révèle être faisable pour des fonctions simples uniquement. Si la fonction étudiée est soupçonnée d'être unimodale (ce qui implique la quasi-concavité), une méthode générale existe[1], mais elle ne réussit pas non-plus à tous les coups.

Références[modifier | modifier le code]

  1. « On the unimodality of METRIC Approximation subject to normally distributed demands. », Méthode dans l'annexe D, Exemple dans le théorème 2 page 5 (consulté le 2013-08-28)
  • Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.
  • (en) J.-P. Crouzeix, Steven N. Durlauf (éditeur) et Lawrence E Blume (éditeur), The New Palgrave Dictionary of Economics, Palgrave Macmillan,‎ 2008, 2e éd. (lien DOI?, lire en ligne), « Quasi-concavity »
  • Singer, Ivan Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6

Liens externes[modifier | modifier le code]