Fonction porte

Graphe de la fonction porte

La fonction porte, généralement représentée Π, est une fonction mathématique par laquelle un nombre a une image nulle, sauf s'il est compris entre -0,5 et 0,5, auquel cas son image vaut 1. Son graphe a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom. Elle est la fonction indicatrice de l'intervalle [-0,5;0,5] de ℝ, que l'on note: $1\!\!1_{[}-0,5;0,5]$.

Définition

La fonction porte est une fonction souvent notée $\Pi$ définie sur l'espace des fonctions réels à valeur dans $\{0,1\}$ comme suit :

$\forall t\in \mathbb {R} ,\ \Pi (t)=\left\{{\begin{array}{cc}1&{\mbox{ si }}-1/2\leq t\leq 1/2\\0&{\mbox{sinon}}\end{array}}\right.$

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside de cette manière :

$\forall t\in \mathbb {R} ,\ \Pi (t)=H\left(t+{\frac {1}{2}}\right)-H\left(t-{\frac {1}{2}}\right)$

On peut translater la fonction porte en additionnant ou en soustrayant à t un facteur de translation (attention: la soustraction induit un retard et l'addition induit un avancement par rapport à 0). On peut élargir la porte de [-1/2 ; 1/2] à [-a/2 ; a/2] en divisant t par a dans l'expression de la porte originale.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :

${\mathcal {F}}(\Pi )(f)=\mathrm {sinc} (\pi f)$

Démonstration

Une fonction porte d'amplitude A compris entre -T/2 et T/2 s'écrit:

$x(t)=0\ {\text{ si }}\ |t|>T/2$ et $x(t)=A\ {\text{ si }}\ |t|<T/2$

D'après la définition de la transformée de Fourier:

$X(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }{x(t)e^{-i2\pi ft}\,\mathrm {d} t}$

Avec $i^{2}=-1$ et $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

$X(f)=A\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}e^{-i2\pi ft}\,\mathrm {d} t$

$X(f)={\frac {A}{-2i\pi f}}\times \left[e^{-i2\pi ft}\right]_{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}$

$X(f)={\frac {A}{2i\pi f}}\times \left(e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}\right)$

$X(f)={\frac {A}{\pi f}}\times \sin \left(\pi fT\right)$

$X(f)=TA\times \mathrm {sinc} \left(\pi fT\right).$

Voir aussi

• Signal carré
• Fonction de Heaviside