Fonction point d'interrogation

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La fonction point d'interrogation est, en mathématiques, une fonction, notée ? (ou x\mapsto ?(x)).

Fonction point d'interrogation de Minkowski

Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904[1] afin d'obtenir une application continue de l'ensemble des irrationnels quadratiques de l'intervalle ]0, 1[ vers l'ensemble des nombres rationnels du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938[2]. Sa restriction aux nombres rationnels est une fonction strictement croissante, dérivable, et de dérivée partout nulle.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit x un nombre réel et [x_0; x_1, x_2, \ldots] sa représentation en fraction continue. On pose :

{\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}.

Cette définition est légitime. Dans le cas d'un nombre irrationnel, la série converge toujours. Dans le cas d'un nombre rationnel, sa fraction continuée se limite à [x_0; x_1, x_2, \ldots, x_n] et deux termes successifs de la série pour k\ge n s'annulent ; il est alors possible d'écrire :

{\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • ?\left(0\right) = 0
  • \frac {1} {3} = \left[0;2,1\right] : ?\left(\frac {1} {3}\right) = \frac {1} {4}
  • \frac {177} {233} = \left[0;1,3,6,4,2\right] : ?\left(\frac {177} {233}\right) = \frac {7193} {8192}
  • ?\left(1\right) = 1
  • \sqrt{2} = \left[1;2,2,\ldots\right] : ?\left(\sqrt{2}\right) = \frac {7} {5}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'une fonction continue, strictement croissante, impaire et vérifiant sur l'ensemble des nombres réels l'équation fonctionnelle ?(x+1)=?(x)+1. Elle n'est en revanche pas absolument continue ; et, plus précisément, la mesure associée est purement singulière (en)[3]. Elle est dérivable et de dérivée nulle sur les rationnels.

L'image de l'ensemble des rationnels par cette fonction est l'ensemble des rationnels dyadiques, et, du fait de la caractérisation des nombres algébriques quadratiques par la périodicité de leur développement en fraction continue, l'image de l'ensemble des irrationnels quadratiques est l'ensemble des rationnels non dyadiques.

Si \frac {p} {q} et \frac {p'} {q'} sont deux fractions irréductibles telles que \left|pq'-p'q\right|=1 (deux éléments successifs d'une suite de Farey), alors

?\left(\frac {p+p'} {q+q'}\right) = \frac {1} {2} \left(?\left(\frac{p}{q}\right) + ?\left(\frac{p'}{q'}\right) \right).

La fonction point d'interrogation est un cas particulier des courbes fractales de De Rham (en).

La fonction boîte de Conway[modifier | modifier le code]

La fonction point d'interrogation est bijective, et sa bijection réciproque a également attiré l'attention de divers mathématiciens, en particulier John Horton Conway, qui l'a redécouverte indépendamment, notant ?−1(x) par \begin{array}{|c|} \hline x \\
\hline
\end{array}. Cette fonction (qui lui permet de résoudre le jeu des fractions distordues (en)[4]) peut être calculée à partir du développement binaire de (x-\lfloor x \rfloor)/2, où \lfloor x \rfloor note la fonction partie entière. Ce développement binaire est formé de n1 zéros, suivis de n2 uns, puis de n3 zéros et ainsi de suite. Posant n_0 = \lfloor x \rfloor, on a alors

\begin{array}{|c|} \hline x \\
\hline
\end{array} = [n_0; n_1, n_2, n_3, \ldots],

la notation de droite représentant un développement en fraction continue.

La fonction boîte de Conway s'obtient également à partir de la suite diatomique de Stern[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (de) H. Minkowski, Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg (1904), Berlin
  2. A. Denjoy, Sur une fonction réelle de Minkowski, J. Math. Pures Appl. 17 (1938) p. 105-151
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Minkowski's Question Mark Function », MathWorld
  4. John H. Conway, On Numbers and Games, ch. 8
  5. Sam Northshield, Stern's diatomic sequence, American Math. Monthly, 117, (août-septembre 2010), 581-598

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]