Fonction linéaire

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Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers d'applications linéaires.

Elles traduisent la proportionnalité.

Par exemple, on dira que le prix d'un plein d'essence est fonction linéaire du nombre de litres mis dans le réservoir car :

  • pour zéro litre, on paie zéro euro,
  • pour un litre, on paie 1,40 euro,
  • pour 2 litres on paie 2,80 euros,
  • pour 10 litres on paie 14 euros,
  • pour 100 litres on paie 140 euros

et pour N litres, on paie 1,4 × N euros.

Reconnaître une fonction linéaire[modifier | modifier le code]

Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :

\begin{matrix}f: & \R\\to\R\\ & x\mapsto y\\\end{matrix} avec y = ax

où le nombre a est un réel quelconque. Ce réel a s'appelle le coefficient de proportionnalité.

En repartant de l'égalité y = ax, on voit que pour x différent de zéro, on peut diviser les deux côtés par x. Il vient donc :

a=\frac yx.

Il suffit donc d'une valeur x non nulle et de son image y pour déterminer la valeur du coefficient de proportionnalité.

Représentation dans le plan[modifier | modifier le code]

La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que y = f(x).

Les fonctions linéaires définies de ℝ dans ℝ se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l'origine du repère. En effet, si M est un point de la représentation graphique tel que x = 0, il vient nécessairement y = 0.

L'élément graphique important est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il correspond au coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce coefficient directeur : si M(x, y) est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme précédemment y = ax puis, par division par x (non nul)

a=\frac yx.

Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

Droites lineaires.png

Par exemple :

  • si a = 1, la droite fait, dans un repère orthonormé, un angle de 45° avec l'axe des abscisses ;
  • si a = 2, la droite « monte » plus fortement que pour a = 1 ;
  • si a = 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
  • si a = –1, la droite « baisse ».

En résumé :

  • si a > 0, la droite « monte » quand on la lit de gauche à droite ;
  • si a = 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
  • si a < 0, la droite « descend » quand on la lit de gauche à droite.

Dans un quadrillage à l'unité, le coefficient directeur correspond au nombre de carreaux parcourus sur l'axe des ordonnées lorsqu'on se déplace d'un seul carreau (vers la droite) sur celui des abscisses.

Coefficient directeur.png

Opérations[modifier | modifier le code]

Somme[modifier | modifier le code]

Considérons deux fonctions linéaires f et g définies, pour tout réel x, par :

f(x)=ax,\qquad g(x)=bx.

Alors, pour tout réel x, on a

(f+g)(x)=ax+bx=(a+b)(x).

Autrement dit, la somme de deux fonctions linéaires est une fonction linéaire.

Multiplication par un réel[modifier | modifier le code]

Considérons la fonction linéaire f définie pour tout réel x par f(x) = ax et k un réel quelconque. Alors, pour tout réel x, on a

(kf)(x)=kf(x)=kax.

Par conséquent, le produit d'une fonction linéaire par une constante est une fonction linéaire.

Produit[modifier | modifier le code]

Considérons deux fonctions linéaires f et g définies, pour tout réel x, par :

f(x)=ax,\qquad g(x)=bx.

On a alors :

(f\times g)(x)=ax\times bx=abx^2.

Autrement dit, le produit de deux fonctions linéaires non nulles n'est pas une fonction linéaire mais une fonction du second degré.

Dérivée[modifier | modifier le code]

Article connexe : Dérivée.

Soit f une fonction linéaire. La tangente à la droite représentative de la fonction f est en tout point de cette droite elle-même, si bien que pour tout réel x, on a :

f'(x)=a.

La fonction dérivée de f est donc la fonction constante définie sur ℝ par cette équation.

Intégrale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

Soit f une fonction linéaire, positive sur l'intervalle [a, b]. On peut calculer l'intégrale de f sur [a, b] en utilisant la formule de l'aire d'un trapèze (somme des bases multipliée par la hauteur et divisée par 2) :

T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}2

soit, pour f(x)=\alpha x :

T=\alpha (b-a)\frac{a+b}2.

Primitives[modifier | modifier le code]

Article connexe : Primitive.

Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. Alors il existe une infinité de primitives de cette fonction ; elles sont toutes définies par des expressions de la forme :

g(x)=\frac{ax^2}2+C

C est une constante réelle quelconque.

Parité[modifier | modifier le code]

Article connexe : Fonctions paires et impaires.

Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. Pour tout réel x, on a :

f(-x)=-ax=-f(x).

Donc une fonction linéaire est toujours impaire. Il existe une seule fonction linéaire qui soit de plus paire : c'est la fonction nulle, qui est constante.

Remarque[modifier | modifier le code]

Faux-ami avec le français, les termes allemands Lineare Funktion et anglais Linear function désignent une fonction affine.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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