Application identité

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En mathématiques, sur un ensemble $X$ donné, une application identité ou fonction identité est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument :

$\forall x\in X,\ f(x)=x\in X$.

Le graphe de l'application identité est appelé la diagonale du produit cartésien $X \times X$. Pour $X=\mathbb{R}$, l'ensemble des nombres réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Notations

L'application identité sur $X$ est notée $\mathrm{id}_X$ ou $\mathrm{Id}_X$. Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble sur lequel on travaille, on note l'application identité $\mathrm{id}$ ou $\mathrm{Id}$.

Elle est parfois notée $1_X$, mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec la fonction indicatrice d'une partie $A$ d'un ensemble $X$.

Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble $X$ dans un ensemble $Y$, on a :

$f\circ \mathrm{id}_X=f=\mathrm{id}_Y\circ f$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de $X$ dans lui-même.

L'application identité est une bijection de $X$ dans lui-même.

L'ensemble des bijections d'un ensemble $X$ dans lui-même, muni de la composition de fonctions, constitue un groupe (appelée groupe symétrique) dont l'élément neutre est l'application identité.

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies $T$ et $O$ définies sur un même ensemble $E$. Si l'application identité de $(E,T)$ dans $(E,O)$ est continue, on dit que la topologie $T$ est plus fine que $O$.