Fonction de transfert de modulation

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Mire classique simple utilisée pour évaluer la FTM d'un système optique tel qu'un objectif.

La fonction de transfert de modulation, ou FTM est une méthode d'évaluation des performances d'un système en traitement du signal, employée en optique, en électronique et en acoustique notamment.

Cette fonction de transfert, outil mathématique permettant de décrire le passage du signal au travers d'un dispositif, peut avoir une expression explicite pour les systèmes simples ou idéaux, ou une expression implicite. Son étude numérique permet de décrire la qualité des systèmes.

Principe[modifier | modifier le code]

En électronique[modifier | modifier le code]

En acoustique[modifier | modifier le code]

En optique[modifier | modifier le code]

En optique, la fonction de transfert de modulation est la fonction permettant de passer de l'objet à l'image et décrivant ainsi le système optique particulier à analyser : objectif, télescope, ou tout autre système. La fonction est testée à l'aide d'une ou plusieurs mires, ensemble de bandes noires et blanches disposées selon différentes fréquences spatiales, et l'image de cette ou ces mires permet de déduire la FTM et de ce fait, la qualité du système.

Tracé et interprétation des courbes[modifier | modifier le code]

Tout ceci peut se mettre sous la forme d'un graphique semblable au suivant :

FTM 4.png

La courbe en trait fin montre que la densité de la mire oscille entre deux valeurs extrêmes, tandis que la zone grise représente la densité de l'image.

On appelle Ao l'amplitude constante des variations de densité de la mire et A l'amplitude variable des densités de l'image. Le rapport A/Ao, qui diminue progressivement lorsque les traits se resserrent, caractérise la dégradation progressive du contraste de l'image et permet d'évaluer l'aptitude éventuelle de l'objectif testé à fournir des images riches en détails visibles. Il ne sert en effet à rien qu'un objectif donne des images très fouillées si elles sont trop peu contrastées pour que l'œil puisse en distinguer les éléments !

Le tracé de la courbe qui représente sa fonction de transfert de modulation renseigne bien mieux sur le comportement d'un objectif que la simple mesure du pouvoir séparateur. Ce dernier correspond au point le plus bas, celui où les informations disparaissent, mais n'indique rien de ce qui peut se passer auparavant.

Courbes FTM.png

Un objectif « parfait » fournit des images dont la qualité baisse graduellement en raison de la diffraction. La courbe A est celle d'un objectif capable de restituer un contraste élevé malgré un pouvoir séparateur moyen. La courbe B caractérise au contraire un objectif dont le pouvoir séparateur est très bon mais qui donnera cependant à l'usage des images beaucoup plus « molles » que le premier ...

Expression analytique pour un objectif parfait[modifier | modifier le code]

L'expression analytique de la fonction de transfert d'un objectif possédant une pupille circulaire.

Fréquence de coupure dans l'espace Image

f_c = \frac{1}{\lambda N}

avec

f_c : fréquence de coupure optique dans l'espace image (détecteur)

\lambda : longueur d'onde (on utilise couramment 550nm pour le visible)

N : nombre d'ouverture de l'objectif (F-number)

Fréquence de coupure dans l'espace Objet

f_c = \frac{\Phi}{\lambda d}

avec

f_c : fréquence de coupure optique dans l'espace objet (scène)

\lambda : longueur d'onde (on utilise couramment 550nm pour le visible)

\Phi : diamètre de la pupille d'entrée

d : distance entre la pupille d'entrée et la scène observée

On note :f_n = \frac{f}{f_c} : la fréquence normalisée

\mathbf{FTM}(f) = \frac{2}{\pi} \left( acos(f_n) - f_n \sqrt{1-f_n^2} \right)

Test FTM[modifier | modifier le code]

Les tests FTM nécessitent un équipement complexe et onéreux que bien peu de laboratoires ont les moyens de s'offrir.[réf. nécessaire]

Origine des dégradations de la FTM optique[modifier | modifier le code]

Les diverses aberrations et anomalies qui rendent imparfaites les images données par un objectif sont de nature très différentes et certaines peuvent aujourd'hui être assez bien corrigées :

  • la distorsion déforme les images en « barillet » ou en « coussinet », elle est inacceptable dans de nombreux domaines tels que la reproduction d'œuvres d'art ou la photographie d'architecture. Il est désormais très facile de l'éliminer approximativement à l'aide de n'importe quel bon logiciel de traitement d'images, au prix toutefois d'un léger recadrage. D'autres logiciels plus spécialisés tenant compte de l'objectif utilisé et de ses réglages permettent une correction pratiquement parfaite.
  • le vignetage assombrit les coins des images et peut lui aussi être corrigé plus ou moins facilement.
  • l'aberration chromatique abaisse la netteté au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre de l'image. Elle est due au fait que les dimensions et la position des images données par les objectifs dépendent de leur couleur ; généralement, l'image du rouge est légèrement plus grande et plus éloignée de l'objectif que celle du bleu. Dans la mesure où l'on connaît exactement les paramètres de cette aberration, il devient possible d'en corriger au moins partiellement les effets.

En photographie, la fonction de transfert de modulation s'applique évidemment aussi à la photographie numérique mais selon des procédures différentes de celles qui ont marqué l'apogée de la photographie argentique.