Fonction de transfert de modulation

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La fonction de transfert de modulation est utilisée en optique, mais elle est aussi le meilleur outil d'évaluation de tous les systèmes de traitement des signaux. On utilise la fonction de transfert de modulation, en électronique, en acoustique et dans bien d'autres secteurs d'activité.

Les bases de la FTM en optique[modifier | modifier le code]

En photographie, la FTM qui permet de passer du sujet à l'image perçue peut, mathématiquement, être comprise comme le « produit » des diverses FTM de l'objectif, du film ou du capteur, de l'agrandisseur ou de l'imprimante, du papier support ou de l'écran et enfin, de l'œil.

FTM 1.png On pourrait concevoir des mires dont les traits se resserreraient de plus en plus selon une loi mathématique donnée mais malheureusement, l'étude mathématique de la dégradation de l'image d'une mire est très complexe lorsque les teintes de cette mire varient de façon discontinue (ici, uniquement du noir et du blanc).
Lignes 2.jpg Il est en fait beaucoup plus facile d'utiliser des mires dont les luminances varient de façon sinusoïdale entre deux valeurs extrêmes.
FTM 2.jpg En combinant les deux, on crée un nouveau type de mire dont les traits de plus en plus serrés ne sont plus alternativement noirs et blancs, mais oscillent selon une loi sinusoïdale entre ce que nous appellerons arbitrairement le « noir pur » et le « blanc pur », en passant par toute la gamme des gris.
FTM 3.jpg L'image d'une telle mire produite par un objectif à tester aura peu ou prou l'aspect montré ci-contre. Le contraste est presque inchangé pour les faibles fréquences spatiales mais il diminue au fur et à mesure que les lignes se resserrent jusqu'à donner finalement une plage presque uniforme où l'on ne peut plus distinguer aucun détail. Les teintes n'oscillent plus entre le « noir pur » et le « blanc pur » mais entre deux gris de plus en plus proches au fur et à mesure que la fréquence spatiale augmente.

Tracé et interprétation des courbes[modifier | modifier le code]

Tout ceci peut se mettre sous la forme d'un graphique semblable au suivant :

FTM 4.png


La courbe en trait fin montre que la densité de la mire oscille entre deux valeurs extrêmes, tandis que la zone grise représente la densité de l'image.

On appelle Ao l'amplitude constante des variations de densité de la mire et A l'amplitude variable des densités de l'image. Le rapport A/Ao, qui diminue progressivement lorsque les traits se resserrent, caractérise la dégradation progressive du contraste de l'image et permet d'évaluer l'aptitude éventuelle de l'objectif testé à fournir des images riches en détails visibles. Il ne sert en effet à rien qu'un objectif donne des images très fouillées si elles sont trop peu contrastées pour que l'œil puisse en distinguer les éléments !

Le tracé de la courbe qui représente sa fonction de transfert de modulation renseigne bien mieux sur le comportement d'un objectif que la simple mesure du pouvoir séparateur. Ce dernier correspond au point le plus bas, celui où les informations disparaissent, mais n'indique rien de ce qui peut se passer auparavant.

Courbes FTM.png

Un objectif « parfait » fournit des images dont la qualité baisse graduellement en raison de la diffraction. La courbe A est celle d'un objectif capable de restituer un contraste élevé malgré un pouvoir séparateur moyen. La courbe B caractérise au contraire un objectif dont le pouvoir séparateur est très bon mais qui donnera cependant à l'usage des images beaucoup plus « molles » que le premier ...

Expression analytique pour un objectif parfait[modifier | modifier le code]

L'expression analytique de la fonction de transfert d'un objectif possédant une pupille circulaire.


Fréquence de coupure dans l'espace Image

f_c = \frac{1}{\lambda N}

avec

f_c : fréquence de coupure optique dans l'espace image (détecteur)

\lambda : longueur d'onde (on utilise couramment 550nm pour le visible)

N : nombre d'ouverture de l'objectif (F-number)


Fréquence de coupure dans l'espace Objet

f_c = \frac{\Phi}{\lambda d}

avec

f_c : fréquence de coupure optique dans l'espace objet (scène)

\lambda : longueur d'onde (on utilise couramment 550nm pour le visible)

\Phi : diamètre de la pupille d'entrée

d : distance entre la pupille d'entrée et la scène observée

On note :f_n = \frac{f}{f_c} : la fréquence normalisée

\mathbf{FTM}(f) = \frac{2}{\pi} \left( acos(f_n) - f_n \sqrt{1-f_n^2} \right)

Un exemple concret[modifier | modifier le code]

Le magazine Photo-Ciné-Revue, aujourd'hui disparu, avait entrepris de publier les courbes FTM de très nombreux objectifs. Les premiers résultats étaient complets mais difficiles à utiliser. Voici par exemple le bilan d'un test réalisé sur un objectif de focale fixe 2,8/135 mm. Cet objectif est relativement ancien mais le comportement général des productions modernes n'est pas fondamentalement différent. Comme dans le cas du pouvoir séparateur, la différenciation des traits permet de situer l'emplacement et la direction de la mesure.

D'une manière générale cet objectif ne permet d'obtenir à pleine ouverture que des images assez « molles », surtout sur les bords. En diaphragmant, la qualité croît assez vite dans la zone centrale pour devenir optimale vers 8. Par contre l'image reste très longtemps médiocre sur les bords et il faut atteindre 11 pour que sa qualité devienne relativement homogène sur tout le champ. Les valeurs n'ont pas été données au-delà de cette valeur, vraisemblablement parce que les résultats se dégradent très rapidement à cause de la diffraction.

Comparées aux représentations du pouvoir séparateur, les courbes FTM contiennent beaucoup plus d'informations mais on ne peut pas en résumer toute la richesse sur une seule figure, puisqu'il faut un graphique par valeur de diaphragme. Pour un zoom il faut plusieurs séries de graphiques correspondant aux focales extrêmes et intermédiaires. Pour un objectif destiné à la photographie rapprochée, on doit aussi faire varier la distance de mise au point ... L'évaluation complète d'un « zoom macro » nécessite de ce fait plusieurs dizaines de graphiques !


Chaque photographe doit s'efforcer de connaître aussi bien que possible les caractéristiques et les limites de son équipement, afin de pouvoir en tirer le maximum. Le moins que l'on puisse dire est que les fabricants d'objectifs ne font pas grand-chose pour l'encourager dans ce sens. Le temps, pas si lointain, où les objectifs Angénieux étaient vendus accompagnés de leurs courbes FTM est bel et bien révolu.

Cela dit, les tests FTM posent deux problèmes essentiels : d'une part ils nécessitent un équipement complexe et onéreux que bien peu de laboratoires ont les moyens de s'offrir, d'autre part leur utilisation pratique nécessite quelques connaissances théoriques et de ce fait, elle est plus ou moins réservée à un public averti.

Évolutions récentes et à court terme[modifier | modifier le code]

Les développements récents des techniques numériques obligent désormais, dans un certain nombre de cas, à tester non plus l'objectif seul mais l'ensemble constitué par un objectif, un capteur et le logiciel embarqué dans l'appareil. Par ailleurs, il est maintenant possible de corriger après coup certains défauts des images et dans ce cas, tout se passe comme si l'objectif qui les a engendrées était meilleur qu'il ne l'est réellement.

En effet, les diverses aberrations et anomalies qui rendent imparfaites les images données par un objectif sont de nature très différentes et certaines peuvent aujourd'hui être assez bien corrigées :

  • la distorsion déforme les images en « barillet » ou en « coussinet », elle est inacceptable dans de nombreux domaines tels que la reproduction d'œuvres d'art ou la photographie d'architecture. Il est désormais très facile de l'éliminer approximativement à l'aide de n'importe quel bon logiciel de traitement d'images, au prix toutefois d'un léger recadrage. D'autres logiciels plus spécialisés tenant compte de l'objectif utilisé et de ses réglages permettent une correction pratiquement parfaite.
  • le vignetage assombrit les coins des images et peut lui aussi être corrigé plus ou moins facilement.
  • l'aberration chromatique abaisse la netteté au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre de l'image. Elle est due au fait que les dimensions et la position des images données par les objectifs dépendent de leur couleur ; généralement, l'image du rouge est légèrement plus grande et plus éloignée de l'objectif que celle du bleu. Dans la mesure où l'on connaît exactement les paramètres de cette aberration, il devient possible d'en corriger au moins partiellement les effets.

Dans l'immédiat, il existe déjà des logiciels comme DxO capables d'effectuer tout ou partie de ces corrections mais de nombreuses possibilités nouvelles s'offrent aux opticiens et aux constructeurs d'appareils. Parions que nous en entendrons parler dans un proche avenir.

La construction d'un objectif est toujours le résultat d'un compromis car en voulant éliminer une aberration, on renforce généralement les autres. Le fait de savoir que des défauts peuvent être corrigés après coup permet aux opticiens de sacrifier volontairement certaines corrections et de disposer ainsi d'une plus grande marge de manœuvre. On assistera peut-être à la mise sur le marché d'objectifs affectés d'une distorsion ou d'une aberration chromatique monstrueuse mais qui, associés à un logiciel embarqué ad hoc, permettront en fin de compte d'obtenir des fichiers numériques exempts de ces défauts. Évidemment, ces objectifs seraient inutilisables pour produire des diapositives et, jugés selon les critères de qualité nécessaires pour la photographie argentique, ils seraient recalés à presque tous les tests.

Depuis plusieurs années, les progrès en matière d'objectifs ont été considérables, car il a fallu adapter le pouvoir séparateur des objectifs aux caractéristiques des capteurs numériques. Il ne sert à rien, en effet, de faire évoluer la taille des photosites de ces capteurs vers le micron si on les utilise derrière des objectifs incapables de séparer plus de 100 traits au mm.

La fonction de transfert de modulation s'applique évidemment aussi à la photographie numérique mais selon des procédures différentes de celles qui ont marqué l'apogée de la photographie argentique.

Liens[modifier | modifier le code]

Cet article est tiré du Wikilivre de Jean Jacques MILAN