Fonction de transfert de modulation

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Mire classique simple utilisée pour évaluer la FTM d'un système optique tel qu'un objectif.

La fonction de transfert de modulation, ou FTM, est une méthode d'évaluation des performances d'un système employée dans la plupart des domaines traitant des signaux comme l'optique, l'électronique ou l'acoustique.

Cette fonction de transfert est outil mathématique permettant de décrire le passage du signal au travers d'un dispositif ; elle peut avoir être explicite pour les systèmes simples ou idéaux, ou avoir une expression implicite. Son étude numérique permet de décrire la qualité du système étudié.

Principe[modifier | modifier le code]

En électronique[modifier | modifier le code]

En acoustique[modifier | modifier le code]

En optique[modifier | modifier le code]

Illustration de la fonction de transfert optique et sa relation à la qualité de l'image. La figure (a) montre la fonction de transfert d'un système avec une bonne mise au point et la figure (b) celle d'un système mal mis au point. La fonction de transfert ce ses systèmes étant réelle et positive, la fonction de transfert optique est par définition la fonction de transfert de modulation. Images d'un point source et d'une cible sur les figures (b,e) et (c,f) respectivement.

En optique, la fonction de transfert de modulation est la fonction permettant de passer de l'objet à l'image[réf. souhaitée] et décrivant ainsi le système optique particulier à analyser : objectif, télescope, ou tout autre système. La fonction est testée à l'aide d'une ou plusieurs mires constituées de bandes noires et blanches disposées selon différentes fréquences spatiales, et l'image de cette ou ces mires permet de déduire la FTM et de ce fait, la qualité du système[1].[pas clair]

La fonction de transfert de modulation correspond au module de ce qu'on appelle la fonction de transfert optique définit par la transformé de fourrier de sa fonction d'étalement du point (plus fréquemment appelée PSF pour Point Spread Fonction)[1].

Définition et notions associées[modifier | modifier le code]

On a par définition[Laquelle ?] FTO(\nu)=FTM(\nu)e^{iFTPh(\nu)} où :

  • FTO est la fonction de transfert optique,
  • FTM est la fonction de transfert de modulation,
  • FTPh la fonction de transfert de phase,
  • \nu la fréquence spatiale.

Faisant de la FTM le module de la FTO et la FTPh l'argument de la FTO[1].

\nu est généralement un vecteur avec une fréquence spatiale pour chaque dimension,[réf. souhaitée] indiquant donc également la direction de la périodicité spatiale.

La réponse impulsionnelle d'un système optique, c'est-à-dire l'image par un système d'un point objet, est une distribution d'intensité à trois dimensions présentant un maximum dans le plan focal[réf. souhaitée], et qui peut donc être mesurée en enregistrant sur un détecteur une série d'images le long de l'axe[Lequel ?]. La fonction de transfert optique à trois dimension peut être définie par la transformée de Fourier à trois dimensions de la réponse impulsionnelle. Même si on utilise généralement des représentations à une ou deux dimensions,[réf. nécessaire] la fonction de transfert optique à trois dimensions peut permettre une meilleur compréhension des microscopes.[pas clair]

D'après la définition de la fonction de transfert, OTF(0)=MTF(0) devrait l'amplitude du faisceaux issu du point objet source.[incompréhensible] Cependant, le contraste du à la quantité de lumière totale détectée est plus importante[pas clair]. On normalise donc en général la fonction de transfert par rapport à l'intensité détectée, de sorte que MTF(0)=1.

[réf. nécessaire]

La fonction de transfert optique dépend de la longueur d'onde ou de la bande spectrale et de la polarisation de la lumière émise ainsi que de la position du point source. De ce fait le contraste et la résolution sont souvent optimaux au centre de l'image, et se dégradent sur les bords. Lorsque les variations[De quoi ?] sont importantes, la fonction de transfert optique peut être calculée pour des combinaisons de positions[De quoi ?] et spectres particuliers[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Système limité par la diffraction[modifier | modifier le code]

Un système parfait donne une image dont le contraste des motifs est élevé et sans décalage de ces motifs periodiques : la fonction de transfert de modulation est donc égale à la fonction de transfert optique. Le cas général est celui d'un contraste maximal qui diminue progressivement vers zéro en un point qui dépend de la résolution des optiques utilisées[pourquoi ?][2]. Par exemple, un montage 4f, c'est à dire pour lequel l'objet et l'image sont disposés symétriquement à une distance 2f de la lentille, aurait la fonction de transfert de modulation sur la figure à droite pour une longueur d'onde de 500 nm. Le contraste décroit progressivement et atteint zéro pour la fréquence spatiale de 500 motifs par millimètres, c'est à dire une résolution de l'image de 1/500ème de millimètre, soit 2 micromètres. Pour ce système, l'image de la cible devient donc de plus en plus floue lorsque l'on se rapproche du centre jusqu'à former un disque non résolu.[pertinence contestée]

La résolution d'un système n'est pas seulement limitée par les optiques, elle l'est également par le nombre de pixel, plus particulièrement par la distance entre eux. Comme le stipule le théorème de Nyquist-Shannon, pour restituer la résolution des optiques,[Laquelle ?] les pixels de couleurs différentes doivent être séparées d'un micromètre, soit un échantillonnage deux fois plus fin que la résolution optique de 2 micromètres. Un nombre plus élevé de pixels sur un capteur de même taille ne permet pas de résoudre des détails plus fins car c'est alors l'optique qui limite la résolution.[réf. souhaitée]

Au contraire, si les pixels sont séparés d'une distance supérieur à 1 micromètre, c'est alors le capteur qui limite la résolution, d'autant plus que la qualité de l'image peut aussi être dégradée de par des effets de repliement de spectre[3].

Système non parfait[modifier | modifier le code]

Un système d'imagerie dont les aberrations sont suffisamment importantes pour qu'il ne soit pas limité par la diffraction possède une fonction de transfert optique de la forme des figures suivantes, pour l’exemple d'un système à f/4 à 500nm avec aberrations sphériques avec un coefficient de Zernike standard de 0.25 :

Comme dans le cas d'un système de lentille idéal, le contraste atteint zéro pour des fréquences spatiales de 2 micromètres. Cependant à de faibles fréquences spatiales le contraste est bien plus faible que dans le cas idéal de l'exemple précédent. En fait, le contraste s'annule plusieurs fois même pour des fréquences spatiales inférieures à 2 micromètres. C'est pour cela que l'on observe les bandes circulaires grises sur la cible image sur la figure de droite. Entre les bandes grises, les stries apparaissent de couleurs noires et blanches inversées, ce qui correspond à l'inversion du contraste due au signe négatif de la partie réelle de la fonction de transfert optique, et correspond à un décalage d'une demie période pour les motifs periodiques. Même si la résolution est de 2 micromètres dans le cas imparfait comme dans le cas parfait, il est clair que l'image du deuxième exemple est moins net. Une définition de la résolution plus en accord accord avec la qualité perçue de l'image ferait intervenir la fréquence spatiale pour lesquelles on a annulation, ici 10 micromètres.

La fonction de transfert de modulation fournit donc une meilleure [réf. souhaitée]information, plus complète, du système optique et de sa capacité à résoudre des motifs à imager[4].

Système à aberrations non circulaires[modifier | modifier le code]

Les aberrations optiques qui dégradent la performance des systèmes ne sont pas toutes à symétrie de rotation : la fonction de transfert associée à un tel système entaché d'aberration va donc refléter ces performances différentes selon l'orientation. Des motifs periodiques qui ont une orientation différente peuvent ainsi être imagés avec des contrastes différents malgré une même périodicité.

Lorsque l'on en fait l'image par un système dont l'aberration principale est le trefeuille, un point objet va donner une image en forme d'étoile à trois branches ou de trèfle (a). La PSF n'étant pas symétrique par rapport à l'axe optique, une représentation à eux dimensions de la fonction de transfert optique est nécessaire (b). La hauteur des points de la surface indique la valeur absolue (FTM) et la teinte l'argument de la fonction (FTPh). L'image d'une cible par un tel système donne le résultat illustré par la simulation (c): Cette fonction de transfert (à une dimension) est ici la même que la fonction de transfert optique.

Les fonctions de transfert optique ne sont pas toujours à valeurs réelles. Les motifs periodiques peuvent être décalés en fonction des aberrations du système, et c'est généralement le cas pour les aberrations non symétriques par rapport à l'axe[Lesquelles ?]. La teinte de la surface sur la figure ci-dessus indique la phase. Pour le cas des aberrations symétriques, la phase est soit de 0 soit de π, ce qui implique que la fonction est réelle, mais dans le cas d'une aberration non symétrique, la fonction de transfert a une composante complexe dont la phase varie continument.

Exemple : Système vidéo à haute définition (HD)[modifier | modifier le code]

La résolution d'un système optique, à laquelle on se rapporte souvent pour les caméras, ne traduit que le nombre de pixels d'un système[réf. souhaitée], et donc sa capacité à restituer des détails plus ou moins fins. Sa fonction de transfert permet de décrire la tendance des pixels adjacents de passer de noir à blanc en réponse à des motifs de fréquences spatiales variables, et donc leur véritable aptitude à résoudre les détails les plus fins, avec un contraste réduit ou non. Une image issue d'un système dont la fonction de transfert chute aux hautes fréquences apparaitra plus floue[Quoi ?].

En prenant l’exemple d'un système vidéo à haute définition, de 1920 par 1080 pixels, le théorème de Nyquist stipule qu'il devrait être possible, pour un système parfait, de résoudre complètement le total des 1920 transition de noir à blanc, qui correspondent à une fréquence de 1920/2=960 cycles en largeur. En pratique, cela est loin d'être le cas, et les fréquences qui approchent la limite de Nyquist sont en général reproduites avec de plus faibles amplitudes, ce qui se traduit par une baisse de contraste des détails[réf. nécessaire].

Tracé et interprétation des courbes[modifier | modifier le code]

Courbe de densité de la mire objet (Ao) et image (A), une amplitude positive indique une bande blanche, une amplitude négative indique une bande noire. La courbe du rapport entre les densités de la mire objet et de son image en-dessous montre la dégradation du contraste avec l'augmentation de la fréquence spatiale de la mire.

Tout ceci[C'est-à-dire ?] peut se mettre sous la forme d'un graphique semblable au suivant :

On appelle Ao l'amplitude constante des variations de densité de la mire et A l'amplitude variable des densités de l'image. Le rapport A/Ao, qui diminue progressivement lorsque les traits se resserrent, caractérise la dégradation progressive du contraste de l'image et permet d'évaluer l'aptitude éventuelle de l'objectif testé à fournir des images riches en détails visibles. Il ne sert en effet à rien qu'un objectif donne des images très fouillées si elles sont trop peu contrastées pour que l'œil puisse en distinguer les éléments !

Le tracé de la courbe qui représente sa fonction de transfert de modulation renseigne bien mieux sur le comportement d'un objectif que la simple mesure du pouvoir séparateur. Ce dernier correspond au point le plus bas, celui où les informations disparaissent, mais n'indique rien de ce qui peut se passer auparavant.

Courbes de FTM schématiques. La courbe A est celle d'un objectif capable de restituer un contraste élevé malgré un pouvoir séparateur moyen. La courbe B caractérise au contraire un objectif dont le pouvoir séparateur est très bon mais qui donnera cependant à l'usage des images beaucoup plus « molles » que le premier.

Un objectif « parfait » fournit des images dont la qualité baisse graduellement en raison de la diffraction.

Expression analytique pour un objectif parfait[modifier | modifier le code]

L'expression analytique de la fonction de transfert d'un objectif possédant une pupille circulaire.

Fréquence de coupure dans l'espace Image

f_c = \frac{1}{\lambda N}

avec

f_c : fréquence de coupure optique dans l'espace image (détecteur)

\lambda : longueur d'onde (on utilise couramment 550nm pour le visible)

N : nombre d'ouverture de l'objectif (F-number)

Fréquence de coupure dans l'espace Objet

f_c = \frac{\Phi}{\lambda d}

avec

f_c : fréquence de coupure optique dans l'espace objet (scène)

\lambda : longueur d'onde (on utilise couramment 550nm pour le visible)

\Phi : diamètre de la pupille d'entrée

d : distance entre la pupille d'entrée et la scène observée

On note :f_n = \frac{f}{f_c} : la fréquence normalisée

\mathbf{FTM}(f) = \frac{2}{\pi} \left( acos(f_n) - f_n \sqrt{1-f_n^2} \right)

Test FTM[modifier | modifier le code]

Les tests FTM nécessitent un équipement complexe et onéreux que bien peu de laboratoires ont les moyens de s'offrir.[Informations douteuses] [?]

Origine des dégradations de la FTM optique[modifier | modifier le code]

Les diverses aberrations et anomalies qui rendent imparfaites les images données par un objectif sont de nature très différentes et certaines peuvent aujourd'hui être assez bien corrigées :

  • la distorsion déforme les images en « barillet » ou en « coussinet », elle est inacceptable dans de nombreux domaines tels que la reproduction d'œuvres d'art ou la photographie d'architecture. Il est désormais très facile de l'éliminer approximativement à l'aide de n'importe quel bon logiciel de traitement d'images, au prix toutefois d'un léger recadrage. D'autres logiciels plus spécialisés tenant compte de l'objectif utilisé et de ses réglages permettent une correction pratiquement parfaite.
  • le vignetage assombrit les coins des images et peut lui aussi être corrigé plus ou moins facilement.
  • l'aberration chromatique abaisse la netteté au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre de l'image. Elle est due au fait que les dimensions et la position des images données par les objectifs dépendent de leur couleur ; généralement, l'image du rouge est légèrement plus grande et plus éloignée de l'objectif que celle du bleu. Dans la mesure où l'on connaît exactement les paramètres de cette aberration, il devient possible d'en corriger au moins partiellement les effets.

En photographie, la fonction de transfert de modulation s'applique évidemment aussi à la photographie numérique mais selon des procédures différentes de celles qui ont marqué l'apogée de la photographie argentique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d http://www.microscopyu.com/articles/optics/mtfintro.html
  2. http://depozit.isae.fr/theses/2004/2004_Estribeau_Magali.pdf
  3. (en) Elements de Conception Optique (lire en ligne), p. 8
  4. (en) Glenn D. Boreman, Modulation Transfer Function in Optical and Electro-optical Systems, SPIE Press,‎ (ISBN 978-0-8194-4143-0, lire en ligne), p. 16