Fonction de Volterra

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En mathématiques, la fonction de Volterra, qui prend son nom de Vito Volterra, est une fonction réelle V(x) définie sur \mathbb{R}, ayant la curieuse combinaison de propriétés suivante :

Définition et construction[modifier | modifier le code]

La fonction est définie à partir de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor et des « copies » de la fonction f définie par f(x) = x^2\sin\left(\frac1x\right) pour x ≠ 0 et f(0)=0. On commence par déterminer la plus grande valeur de x dans l'intervalle [0,1/8] pour laquelle f'(x) ≠ 0. Une fois cette valeur déterminée et notée x_0, on étend la fonction vers la droite par la constante f(x_0) jusqu'au point 1/8 inclus. Ceci étant fait, on crée l'image miroir de cette fonction à partir du point 1/4 et on l'étend vers la gauche jusqu'à 0, et on impose à cette nouvelle fonction d'être nulle à l'extérieur de l'intervalle [0, 1/4]. On translate alors cette fonction sur l'intervalle [3/8, 5/8] de façon à ce que la nouvelle fonction ainsi construite, et notée f_1(x), soit non nulle seulement sur l'intervalle médian complémentaire de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor. On construit f_2(x) de la même manière, mais en considérant cette fois f'(x) sur l'intervalle plus petit [0,1/32], en la tronquant à la plus grand valeur où la dérivée est nulle, en l'étendant, et en construisant son image miroir de la même manière que précédemment, deux copies translatées de la fonction ainsi obtenues étant ajoutée à f_1 pour produire la fonction f_2. La fonction de Volterra est alors obtenue en répétant cette procédure pour tout intervalle « retiré » dans la construction de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ; en d'autres termes, la fonction V est la limite de la suite de fonctions f_1, f_2, …


Propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction de Volterra est dérivable partout comme f(x) définie ci-dessus l'est. On peut montrer que f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x) pour x ≠ 0, ce qui implique que dans tout voisinage de zéro, il y a des points où f'(x) prend les valeurs 1 et -1. Ainsi, il y a des points où V'(x) prend les valeurs 1 et -1 dans tout voisinage de chaque borne des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor noté S. En fait, en tout point de S, V est dérivable, de dérivée nulle, mais V'(x) y est discontinue. Cependant, V' est continue dans chacun de ces intervalles, donc l'ensemble des points de discontinuités de V' est exactement égal à S.

Comme l'ensemble S admet une mesure de Lebesgue strictement positive, cela signifie que V' est discontinue sur un ensemble de mesure non nulle, et donc non Riemann-intégrale.

Notons que l'on avait mené la même construction sur l'ensemble de Cantor C, on aurait obtenu une fonction avec des propriétés similaires, mais la dérivée aurait été discontinue sur C qui est de mesure nulle, et la fonction obtenue aurait alors eu une dérivée intégrable.