Fonction de Veblen

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, les fonctions de Veblen forment une suite de fonctions définies sur les ordinaux, introduite en 1908 par Oswald Veblen.

Les fonctions de Veblen[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction normale (en) définie sur les ordinaux, c'est-à-dire une fonction continue pour la topologie de l'ordre, strictement croissante. En 1908, Oswald Veblen a montré[1] qu'on pouvait construire une suite de fonctions indexée par les ordinaux, toutes normales, définie comme suit : φ0 =f, et pour tout ordinal non nul α, φα est la fonction qui énumère les points fixes communs à tous les φβ pour β<α[2].

La hiérarchie de Veblen[modifier | modifier le code]

Dans le cas particulier où φ0(α)=ωα, la famille des fonctions de Veblen est connue sous le nom de hiérarchie de Veblen.

La fonction φ1 est alors la fonction ε : φ1(α)= εα. Ainsi, \phi_1(0)=\varepsilon(0)=\omega^{\omega^{\omega^\dots}}. Si \alpha < \beta \,, alors \phi_{\alpha}(\phi_{\beta}(\gamma)) = \phi_{\beta}(\gamma) \,. Cela, et le fait que φβ est strictement croissante, entraîne que l'on a l'ordre : \phi_\alpha(\beta) < \phi_\gamma(\delta) \, si et seulement si (\alpha = \gamma \, et \beta < \delta \,), ou (\alpha < \gamma \, et \beta < \phi_\gamma(\delta) \,) ou (\alpha > \gamma \, et \phi_\alpha(\beta) < \delta \,).

Suites fondamentales pour la hiérarchie de Veblen[modifier | modifier le code]

Une suite fondamentale pour un ordinal limite (de cofinalité (en) ω, mais c'est toujours le cas pour les ordinaux dénombrables de cet article) est une suite strictement croissante ayant cet ordinal comme limite. La donnée d'un système de suites fondamentales pour tous les ordinaux limites inférieurs à un ordinal donné α permet de construire une bijection explicite (n'utilisant en particulier pas l'axiome du choix) entre ω et α. Les suites fondamentales qui vont être décrites couvrent les ordinaux atteints par la hiérarchie de Veblen, et allant jusqu'à l'ordinal de Feferman-Schütte. Le n-ième élément de la suite fondamentale choisie pour α sera noté α[n].

Une forme analogue à la forme normale de Cantor utilisée dans ce contexte consiste à écrire tout ordinal non nul α sous la forme (unique) \alpha = \phi_{\beta_1}(\gamma_1) + \phi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \phi_{\beta_k}(\gamma_k), où k>0 est un entier naturel, la suite des termes est décroissante (non nécessairement strictement) : \phi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \phi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,, et où chaque \gamma_m < \phi_{\beta_m}(\gamma_m) \,. Si une suite fondamentale existe pour le dernier terme, on pourra réécrire celui-ci, obtenant une suite fondamentale pour α : \alpha [n] = \phi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \phi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\phi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,.

Pour tout β, si γ est un ordinal limite avec \gamma < \phi_{\beta} (\gamma) \,, alors on pose \phi_{\beta}(\gamma) [n] = \phi_{\beta}(\gamma [n]) \,.

Bien entendu, il n'y a pas de suite fondamentale pour \phi_0(0) = ω0 = 1 ; pour \phi_0(\gamma+1) = \omega ^{\gamma+1} = \omega^ \gamma \cdot \omega \,, on pose \phi_0(\gamma+1) [n] = \phi_0(\gamma) \cdot n  = \omega^{\gamma} \cdot n \,.

Pour \phi_{\beta+1}(0) \,, on prend \phi_{\beta+1}(0) [0] = 0 \, et \phi_{\beta+1}(0) [n+1] = \phi_{\beta}(\phi_{\beta+1}(0) [n]) \,, autrement dit la suite 0, \phi_{\beta}(0),\phi_{\beta}(\phi_{\beta}(0)), etc..

Pour \phi_{\beta+1}(\gamma+1), on prend \phi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \phi_{\beta+1}(\gamma)+1 \, et \phi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \phi_{\beta} (\phi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,.

Supposons alors que β soit un ordinal limite : si \beta < \phi_{\beta}(0), on pose \phi_{\beta}(0) [n] = \phi_{\beta [n]}(0) \,.

Pour \phi_{\beta}(\gamma+1), on prend \phi_{\beta}(\gamma+1) [n] = \phi_{\beta [n]}(\phi_{\beta}(\gamma)+1) \,.

Sinon, l'ordinal ne peut être décrit à l'aide d'ordinaux plus petits et des fonctions \phi, et cette méthode ne s'applique pas : c'est ce qui se produit à partir de l'ordinal de Feferman-Schütte.

La fonction Γ[modifier | modifier le code]

La fonction Γ énumère les ordinaux α pour lesquels la méthode précédente ne s'applique pas, c'est-à-dire ceux pour lesquels φα(0) = α. Γ0 est l'ordinal de Feferman-Schütte, donc le plus petit α tel que φα(0) = α.

Pour Γ0, on peut prendre comme séquence fondamentale \Gamma_0 [0] = 0 \, et \Gamma_0 [n+1] = \phi_{\Gamma_0 [n]} (0) \,.

Pour Γβ+1, on prend \Gamma_{\beta+1} [0] = \Gamma_{\beta} + 1 \, et \Gamma_{\beta+1} [n+1] = \phi_{\Gamma_{\beta+1} [n]} (0) \,.

Enfin, pour Γβ, où \beta < \Gamma_{\beta} \, est un ordinal limite, on prend \Gamma_{\beta} [n] = \Gamma_{\beta [n]} \,.. À nouveau, on ne peut continuer au-delà du premier ordinal tel que \beta = \Gamma_{\beta} \,, et il faudrait créer une nouvelle fonction ; le processus, répété transfiniment, conduit au petit ordinal de Veblen (en).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Pour pouvoir généraliser ces notations, il est plus simple de considérer φα(β) comme une fonction φ(α,β) de deux variables. Veblen a montré comment en déduire une fonction à plusieurs variables φ(αnn-1, ...,α0), et plus généralement il a montré comment φ peut être défini même pour une suite transfinie d'ordinaux αβ, à condition que seuls un nombre fini d'entre eux soient non nuls.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Veblen 1908
  2. La démonstration de ce résultat, et de tous ceux mentionnés dans cet article, se trouve dans Veblen 1908 ; pour une approche rigoureuse, mais plus intuitive, on pourra consulter, par exemple, ce texte de Xavier Caruso [PDF]. Le point-clé de la plupart de ces démonstrations est que si β est un ordinal quelconque, la suite β, f(β), f(f(β)),... a pour limite un ordinal supérieur à β, et qui est un point fixe de f.

Références[modifier | modifier le code]

  • Xavier Caruso, Bons ordres sur N[PDF], article introductif en français.
  • (en) Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, article introductif (8 pages, en PostScript)
  • (en) Wolfram Pohlers, Proof theory, vol. 1407, Springer-Verlag,‎ 1989 (ISBN 3-540-51842-8)
  • (en) Kurt Schütte, Proof theory, vol. 225, Springer-Verlag,‎ 1977 (ISBN 3-540-07911-4), xii+299
  • (en) Gaisi Takeuti, Proof theory, vol. 81, North-Holland Publishing Co.,‎ 1987 (ISBN 0-444-87943-9)
  • (en) C. Smorynski, The varieties of arboreal experience, vol. 4,‎ 1982 (lire en ligne), p. 182–189 [PDF] : une description informelle de la hiérarchie de Veblen.
  • (en) Oswald Veblen, « Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 9, no 3,‎ 1908, p. 280–292 (lire en ligne) [PDF]
  • (en) Larry W. Miller, « Normal Functions and Constructive Ordinal Notations », The Journal of Symbolic Logic, vol. 41, no 2,‎ 1976, p. 439–459 (DOI 10.2307/2272243, JSTOR 2272243)

Voir aussi[modifier | modifier le code]