Fonction de Langevin

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Fonction de Langevin (en rouge), avec deux approximations pour des petits x : développement en fraction continue tronqué (en vert), et développement limité à l'ordre 3 (en bleu).

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par L(x) = \coth (x) - {1 \over x} où coth est la fonction cotangente hyperbolique.

Contexte[modifier | modifier le code]

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme \vec{B}=B\vec{u_z} (ou des systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante).

La matériau est décrit par une assemblée de dipôles magnétiques avec un moment magnétique \vec{M}. L'énergie de chaque dipôle est alors U=-\mu \vec{J}\cdot\vec{B}.

Calcul de l'aimantation moyenne[modifier | modifier le code]

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas \langle M \rangle l'aimantation moyenne d'un site dans la direction \vec{u_z} est donnée par la loi de Boltzmann : \frac{\int M e^{\frac{\mu \vec{J}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega}{\int e^{\frac{\mu \vec{J}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega}\Omega désigne l'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour \vec{J}.

Résultat[modifier | modifier le code]

Des manipulations élémentaires mènent alors à : \langle M \rangle =\mu\left[\coth{\left(\frac{\mu B}{kT}\right)}-\frac{kT}{\mu B}\right]= \mu L\left(\frac{\mu B}{kT}\right)L est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

À champ non nul, lorsque la température tend vers zéro on a \langle M \rangle \simeq  \mu : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures \langle M \rangle \simeq 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime entropique : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour x \ll 1, la fonction de Langevin peut se développer en série de Taylor :

L(x)= \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \tfrac{2}{93555} x^9 + \cdots

ou en fraction continue généralisée :

L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\cdots}}}}

Dans le régime des hautes températures (k T \gg \mu B), on peut garder le seul premier terme de ces développements (L(x) \approx \tfrac{x}{3}), ce qui conduit à la loi de Curie :

\langle M \rangle = \dfrac{\mu^2B}{3k_BT} = \alpha B avec  \alpha\propto \dfrac{1}{T} la susceptibilité magnétique.

La fonction de Langevin vérifie aussi la relation suivante, qui peut se déduire d'un analogue pour la fonction cotangente :

\forall x\in\R^*\quad L(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{x^2+n^2\pi^2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Fonction de Brillouin