Fonction de Langevin

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Fonction de Langevin (en rouge), avec deux approximations pour des petits x : développement en fraction continue tronqué (en vert), et développement limité à l'ordre 3 (en bleu).

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par L(x) = \coth (x) - {1 \over x} où coth est la fonction cotangente hyperbolique.

Contexte[modifier | modifier le code]

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme B, ainsi que celle de systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante.

La matériau est décrit comme une assemblée de dipôles magnétiques classiques indépendants, ayant chacun un moment magnétique m dont la direction est libre mais le module, µ, est fixe. L'énergie de chaque dipôle est alors U = −mB.

Calcul de l'aimantation moyenne[modifier | modifier le code]

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas, l'aimantation du matériau vaut M = nmn est la densité de moments magnétiques et la valeur moyenne m de ces moments est donnée par la loi de Boltzmann :

\langle\mathbf{m}\rangle = \frac{\int \mathbf{m} e^{\frac{\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}}{k_BT}}d\Omega}{\int e^{\frac{\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}}{k_BT}}d\Omega}

kB est la constante de Boltzmann, T la température, l'élément d'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour m.

Résultat[modifier | modifier le code]

Des manipulations élémentaires mènent alors à

\langle M \rangle = n\mu \left[\coth{\left(\frac{\mu B}{k_BT}\right)}-\frac{k_BT}{\mu B}\right] = n\mu L\left(\frac{\mu B}{k_BT}\right)

L est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

À champ non nul, lorsque la température tend vers zéro on a M⟩ ≈  : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures M⟩ ≈ 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime entropique : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour x ≪ 1, la fonction de Langevin peut se développer en série de Taylor :

L(x)= \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \tfrac{2}{93555} x^9 + \cdots

ou en fraction continue généralisée :

L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\cdots}}}}

Dans le régime des hautes températures (kTµB), on peut garder le seul premier terme de ces développements (L(x) ≈ x/3), ce qui conduit à la loi de Curie :

\langle M \rangle = \dfrac{n\mu^2B}{3k_BT} = \chi B avec \chi \propto \dfrac{1}{T} la susceptibilité magnétique.

La fonction de Langevin vérifie aussi la relation suivante, qui peut se déduire d'un analogue pour la fonction cotangente :

\forall x\in\R^*\quad L(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{x^2+n^2\pi^2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]