Fonction de Dawson

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La fonction de Dawson, F(x), près de l'origine.
Une fonction de Dawson généralisée, D_-(x), près de l'origine.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction de Dawson (portant le nom de H. G. Dawson, et parfois appelée intégrale de Dawson) est une fonction spéciale, définie comme étant une solution particulière de l'équation différentielle

y'+2xy=1.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction de Dawson peut être définie comme la solution de l'équation différentielle

 \frac{dF}{dx} + 2xF=1

satisfaisant la condition initiale  F(0) = 0 ; la méthode de variation de la constante permet alors d'en déduire que

F(x)={\rm e}^{-x^2}\int_0^x{\rm e}^{t^2}\,{\rm d}t.

La fonction de Dawson peut être calculée à partir de la fonction d'erreur erf : on a

 F(x) = {\sqrt{\pi} \over 2}{\rm e}^{-x^2} \mathrm{erfi} (x)

 = - {{\rm i}\sqrt{\pi} \over 2}{\rm e}^{-x^2}\mathrm{erf}({\rm i}x)

où erfi est la fonction d'erreur imaginaire, erfi(x) = −i erf(ix).

Pour x proche de 0, on a F(x)\simeq x et pour les grandes valeurs de |x|, F(x)\simeq 1/(2 x) ; plus précisément, au voisinage de 0,

F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}\, x^{2n+1}=x-\frac23x^3+\frac4{15}x^5-\dots

(cette série entière converge pour tout x) et, en +\infty, on a le développement asymptotique

F(x)=\frac1{2x}+\frac1{4x^3} + \frac{3}{8x^5}+\dots+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n+1} x^{2n+1}}+o(x^{-2n-2} )

(qui, au contraire, correspond pour tout x à une série divergente).

Généralisations[modifier | modifier le code]

On trouve parfois pour la fonction de Dawson la notation D_+(x)={\rm e}^{-x^2} \int_0^x{\rm e}^{t^2}\,{\rm d}t, et la fonction « symétrique » est alors notée D_-(x)={\rm e}^{x^2} \int_0^x{\rm e}^{-t^2}\,{\rm d}t ; avec ces notations, on a donc  D_+(x) = {\sqrt{\pi} \over 2}{\rm e}^{-x^2}  \mathrm{erfi} (x)\quad{\rm et}\quad D_-(x) = {\sqrt{\pi} \over 2}{\rm e}^{x^2}\mathrm{erf} (x).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dawson function » (voir la liste des auteurs).

Liens externes[modifier | modifier le code]