Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

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Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann qu'il permet d'aborder directement. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes : les dérivées partielles (par rapport à \ x, y ou \ z, \bar{z}) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction  \ f : U \to \mathbb{{C}} d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe \mathbb{{C}}. On utilisera les notations suivantes :

  • la variable complexe \ z sera notée \ x + i\, y, où x, y sont réels
  • les parties réelle et imaginaire de \ f(z) = f(x + i\, y) seront notées respectivement \ P(x, y) et \ Q(x, y), c'est-à-dire : \ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y), où \ P,\, Q sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe[modifier | modifier le code]

Dérivées partielles par rapport à x et y[modifier | modifier le code]

Définition  : soit \ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U, où \ x_0,\, y_0 sont réels.

  • on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point \ z_0 par rapport à la variable x, notée \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) si la limite (finie) \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \lim_{u \to 0,\, u\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} existe
  • on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point \ z_0 par rapport à la variable y, notée \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) si la limite (finie) \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \lim_{v \to 0,\, v\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} existe

Propriété :

  • la dérivée partielle \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) existe si et seulement si les dérivées partielles \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0) existent, et alors \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)
  • la dérivée partielle \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) existe si et seulement si les dérivées partielles \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0), \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0) existent, et alors \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

  • si, par exemple, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) existe en tout point \ z_0 \in U, on définit la fonction \frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb{{C}},\, z \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)
  • si, de plus, la fonction \frac{\partial f}{\partial x} admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point \ z_0 par rapport à la variable x, on la note \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0) : \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0). De manière analogue, si \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0) existe, on la note \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(z_0), etc.

Dérivées partielles par rapport à \ z et \ \bar{z}[modifier | modifier le code]

Définition  : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point \ z_0. Alors, on définit :

  • \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)
  • \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) + i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

  • \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)
  • \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) =  i\, \left(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) - \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)\right)

Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe[modifier | modifier le code]

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou \mathbb{R}-différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction \mathbb{R}-linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que \ f, en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

  • Définition  : on dit qu'une application L : \mathbb{C} \to \mathbb{C} est \mathbb{R}-linéaire si : \forall\, \alpha \in \mathbb{R}, \forall\, \beta \in \mathbb{R}, \forall\, z \in \mathbb{C}, \forall\, w \in \mathbb{C}, L(\alpha\, z + \beta\, w) = \alpha L(z) + \beta L(w).
    • (alors  : \forall u \in \mathbb{R},\, \forall v \in \mathbb{R},\, L(u + i\, v) = u L(1)+ v L(i))
  • Définition  : on dit que la fonction  \ f : U \to \mathbb{{C}} est \mathbb{R}-différentiable en un point z_0 \in U s'il existe une application \mathbb{R}-linéaire L : \mathbb{C} \to \mathbb{C} et une fonction \ \epsilon d'une variable complexe telles que \epsilon(h) \to 0 lorsque h \to 0 et f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h) (en supposant que \ |h | < r, où r est le rayon d'une boule ouverte telle que \ B(z_0,\, r) \subset U).
    • Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle \mathbb{R}-différentielle ou différentielle de \ f en \ z_0 et on la note habituellement \ df(z_0).
    • On dit que \ f est \mathbb{R}-différentiable sur U si elle est \mathbb{R}-différentiable en tout point de U.
  • Propriété : si \ f est \mathbb{R}-différentiable en un point \ z_0 \in U, alors :
    • elle est continue en \ z_0 ;
    • elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en \ z_0, et \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = df(z_0)(1), \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = df(z_0)(i).

Démonstration :

  • continuité : f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h) \to f(z_0) lorsque h \to 0 parce que L(h) \to 0 (la \mathbb{R}-différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et  h\, \epsilon(h) \to 0.
  • existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
    • pour tout u réel tel que \ |u | < r, f(z_0+u) = f(z_0) + L(u) + u\, \epsilon(u) = f(z_0) + u L(1) + u\, \epsilon(u) ; donc, si u \neq 0, \frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} = L(1) + \epsilon(u) \to L(1) lorsque u \to 0 : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction \ f en \ z_0 par rapport à \ x, et la relation \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1)
    • pour tout v réel tel que \ |v | < r, f(z_0+i\, v) = f(z_0) + L(i\, v) + i\, v\, \epsilon(i\, v) = f(z_0) + v L(i) + i\, v\, \epsilon(i\, v) ; donc, si v \neq 0, \frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} = L(i) + i\, \epsilon(i\, v) \to L(i) lorsque v \to 0 : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction \ f en \ z_0 par rapport à \ y, et la relation \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i).
  • Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de \mathbb{R}-différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
    • Soit \ z_0 \in U. Si \ f admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à \ z et \ \bar{z}) en tout point d'un voisinage de \ z_0, et si \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} (ou \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}) sont continues en \ z_0, alors \ f est \mathbb{R}-différentiable en \ z_0
    • En particulier, si \ f admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à \ z et \ \bar{z}) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction \ f est \mathbb{R}-différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que \ f est \mathbb{R}-continûment différentiable sur U, ou de classe \ C^1 sur U.

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Voir aussi[modifier | modifier le code]

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