Fonction d'erreur

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Construction de la fonction d'erreur réelle.

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction entière utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales.

\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt\pi} 
\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Intérêt de cette fonction[modifier | modifier le code]

La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite X prenne une valeur dans l'intervalle [–z, z] est

\operatorname{erf}\left(\frac z{\sqrt2}\right)=\mathbb{P}(X\in[-z,z]).

La fonction de répartition de X, ou fonction de répartition de la loi normale, usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur, dénommée erf, par la relation :

\Phi(z)\ =\ \int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}2}\,\mathrm dt = \frac12\left(1+\operatorname{erf}\left(\tfrac z{\sqrt2}\right)\right)=\mathbb{P}(X\le z),

ou bien encore

\operatorname{erf}(z)\ =\ 2\Phi\left(z\sqrt2\right)-1.

La fonction d'erreur intervient également dans l'expression des solutions de l'équation de la chaleur, quand les conditions aux bords sont données par la fonction de Heaviside.

Calcul numérique[modifier | modifier le code]

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée[1] mais par un développement en série entière (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes,

\quad \operatorname{erf}(z) =\frac2{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\times n!}\,z^{2n+1}=\frac2{\sqrt\pi}(z-\frac{z^3}3+ \frac{z^5}{10} - \frac{z^7}{42} + O(z^9) ).

Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa bijection réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles :

  • En v(0),\quad \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2} \left ( x + \frac{2}{3}\, x^3 + \frac{4}{15}\, x^5\right ) + o( x^6\,e^{-x^2} ) (avec une erreur inférieure à 6 × 10–4 pour x < 0,5)
  • En v(+\infty),\quad \operatorname{erf}(x) = 1 - e^{-x^2}\frac1{\sqrt\pi}. \left ( \frac1x-\frac1{2x^3}+\frac3{4x^5}-\frac{15}{8x^7} \right ) + o( x^{-8}.e^{-x^2} ) (avec une erreur inférieure à 2 × 10–4 pour x > 1,75)
  • Pour x>0,\quad \sqrt{ 1-e^{-x^2} } \leq \operatorname{erf}(x) \leq \sqrt{1-e^{-4x^2 / \pi}}

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10−3 près).

  • Pour x>0,\quad  \operatorname{erf}(x)\simeq 1-e^{-1,9x^{1,3}}

(approximation proposée par E. Robert, 1996 ; Elle approche partout la fonction erf à moins de 2,2.10^{-2} près. L'approximation s'améliore pour être inférieure à 10^{-2} pour  x \geq 1 ).

  • La fonction x\mapsto \operatorname{erf}(x)\times e^{x^2} est la solution de l'équation différentielle y''-2x\,y'-2y=0 valant 0 en 0 et de dérivée \frac2{\sqrt\pi} en 0.

Extensions[modifier | modifier le code]

Il arrive que la fonction plus générale E_n définie par :

E_n(z) = n! \int_0^z e^{-\zeta^n}\,\mathrm d\zeta

soit utilisée et E2 est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :


\operatorname{erfc}\left( z \right) = 1 - \operatorname{erf}\left( z \right) =  \frac2{\sqrt\pi}\int_z^{\infty}e^{-\zeta^2}\,\mathrm d\zeta

  • La fonction ierfc, (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :


\operatorname{ierfc}\left( z \right) = \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi}-z\cdot\operatorname{erfc}\left( z\right)

  • La fonction d'erreur imaginaire notée erfi est définie par[2] :


\operatorname{erfi}\left( z \right) = \frac{\operatorname{erf}\left(i z \right)}i=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^ze^{\zeta^2}\,\mathrm d\zeta

Elle n'est souvent définie que dans certains logiciels de calcul formel, tels que Mathematica et Maple. Elle peut néanmoins être décrite à l'aide d'un développement en série :

\quad \operatorname{erfi}(z)=\frac2{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)\times n!}\,z^{2n+1}=\frac2{\sqrt\pi}\left( z + \frac{z^3}3 + \frac{z^5}{10} + \frac{z^7}{42} + O(z^9) \right).

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à k=K)

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules statistiques. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en série :

\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt\pi}{2}z\right )^{2k+1}

c_0 = 1 et

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac76,\frac{127}{90},\ldots\right\}

On obtient le développement suivant :

\operatorname{erf}^{-1}(z)=\frac12\sqrt\pi\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right )

(le rayon de convergence de cette série valant 1, elle ne donne de bonnes valeurs approchées que pour |z|<1/2 par exemple).

Référence[modifier | modifier le code]

  1. Voir à ce sujet le théorème de Liouville.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Erfi », MathWorld

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]