Fonction d'appui

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En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé \mathbb{E} est la fonction convexe qui à une forme linéaire continue s sur \mathbb{E} associe la borne supérieure de s(P) dans \bar{\R}.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé \mathbb{E} est la fonction notée \sigma_P et définie par


\sigma_P:\mathbb{E}'\to\bar{\R}:s\mapsto\sigma_P(s)=\sup_{x\in P}\,\langle s,x\rangle,

\mathbb{E}' est le dual topologique de \mathbb{E} et \langle s,x\rangle est la valeur de la forme linéaire continue s en x.

Exemples[modifier | modifier le code]

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Que l'ensemble P soit convexe ou pas, sa fonction d'appui est toujours convexe et fermée.

Sous-linéarité et fermeture — La fonction d'appui est sous-linéaire et fermée.

On note ci-dessous \overline{\operatorname{co}} P l'enveloppe convexe fermée de P\subset\mathbb{E}.

Ensemble inclus — Soient P_1 et P_2 des parties non vides de \mathbb{E}. Alors


\begin{array}{rcl}
\sigma_{P_1}\leqslant\sigma_{P_2}
&\Longleftrightarrow&
\overline{\operatorname{co}} P_1\subset\overline{\operatorname{co}} P_2,
\\
\sigma_{P_1}=\sigma_{P_2}
&\Longleftrightarrow&
\overline{\operatorname{co}} P_1=\overline{\operatorname{co}} P_2.
\end{array}

On note ci-dessous \overline{P} l'adhérence de P\subset\mathbb{E} et \operatorname{co} P son enveloppe convexe.

Invariance par prise d'enveloppe convexe et de fermeture — Soit P une partie non vide de \mathbb{E}. Alors


\sigma_P
=\sigma_{\overline{P}}
=\sigma_{\operatorname{co} P}
=\sigma_{\overline{\operatorname{co}} P}.

Règles de calcul[modifier | modifier le code]

Somme pondérée d'ensembles — Pour i\in\{1,\ldots,m\}, on suppose donnés des parties non vides P_i de \mathbb{E} et des scalaires \alpha_i\geqslant 0. Alors


\sigma_{_{\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iP_i\right)}}=
\sum_{i=1}^m\alpha_i\,\sigma_{_{P_i}}.

Transformation par une application linéaire — Soient \mathbb{F} un autre espace normé, A:\mathbb{E}\to \mathbb{F} une fonction linéaire continue, A^* son adjointe et P une partie non vide de \mathbb{E}. Alors \sigma_{A(P)}:\mathbb{F}\to\bar{\R} s'écrit


\sigma_{A(P)}=\sigma_P \circ A^*.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 978-3-540-42205-1.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.