Arc tangente

Représentation graphique

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la mesure d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[. Elle est en général notée Arc tan en notation française, en remplacement de l'ancienne notation arctg, ou parfois arctan, notation recommandée par la norme ISO 31-11. La notation anglo-saxonne s'écrit atan ou tan^-1, bien que cette dernière puisse être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan).

Concrètement, si $x$ appartient à ]-π/2 ; π/2[ et $y$ appartient à $\R$ :

$y = \tan (x) \Leftrightarrow x = \mathrm{Arctan} (y)$

La courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ par une réflexion d'axe la droite d'équation $y = x$.

Parité

La fonction Arctan est impaire, c'est à dire que (pour tout $x$) :

$-\mathrm{Arctan}(x) = \mathrm{Arctan}(-x)$

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arctan est dérivable et vérifie :

$\mathrm{Arctan}'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

Démonstration détaillée

On applique à f =tan le théorème de dérivée d'une fonction réciproque (d'une fonction dérivable dont la dérivée ne s'annule pas) :

$\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$

qui, puisque $\tan'(y)=1+\tan^2y>0$, prouve que la dérivée de Arctan existe et vaut :

$\mathrm{Arctan}'(x) = \frac{1}{1+\tan^2(\mathrm{Arctan}(x))}=\frac{1}{1+x^2}.$

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente est :

$\forall x\in [-1,1]\quad \mathrm{Arctan} (x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots$

Démonstration

Pour $|t| < 1$, considérons la série géométrique infinie

$1-t^2+t^4-t^6+t^8-\cdots=\frac1{1+t^2}.$

C'est la limite de

$G_n(t)=1-t^2+t^4-t^6+t^8-+\cdots-t^{4n-2}=\frac{1-t^{4n}}{1+t^2}.$

En écrivant que

$\frac1{1+t^2}=\frac{1-t^{4n}}{1+t^2}+\frac{t^{4n}}{1+t^2}=G_n(t)+\frac{t^{4n}}{1+t^2},$

on obtient, en intégrant de chaque côté entre 0 et x,

$\int_0^x\frac1{1+t^2}~\mathrm dt=\int_0^xG_n(t)~\mathrm dt+\int_0^x\frac{t^{4n}}{1+t^2}~\mathrm dt.$

Dans le membre de droite, l'intégrale de $G_n(t)$ donne la somme partielle de la série recherchée et l'autre intégrale converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini, puisque

$\left|\int_0^x\frac{t^{4n}}{1+t^2}~\mathrm dt\right|\le\int_0^{|x|}t^{4n}~\mathrm dt=\frac{|x|^{4n+1}}{4n+1}.$

Le membre de gauche vaut

$\int_0^x\frac1{1+t^2}~\mathrm dt=\mathrm{Arctan}(x).$

Cette série entière converge quand $|x|\le 1$ et $x\neq\pm i$. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ.

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas $x=1$, appelée formule de Leibniz

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots$

La formule de Machin, plus sophistiquée,

$\frac\pi4=4\mathrm{Arctan}\frac15-\mathrm{Arctan}\frac1{239}$

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de $\pi$ et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle

De Arctan(¹⁄_x) on peut déduire Arctan(x) et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

$\forall x\in{\R_+^*},\ \mathrm{Arctan}\ \frac1x + \mathrm{Arctan}\ x= \frac\pi2$

$\forall x\in{\R_-^*},\ \mathrm{Arctan}\ \frac1x + \mathrm{Arctan}\ x= -\frac\pi2$

Démonstrations

Démontrons la première équation (la seconde s'en déduit par imparité, ou se démontre de même).

• Une première méthode est de vérifier que la dérivée est nulle.

On a en effet :

$\mathrm{Arctan}'(x) = \frac1{1+x^2}$

et

$\left(\mathrm{Arctan}\ \frac1x\right )' = \frac{-1}{x^2} \cdot \frac1{1+{\frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{1+x^2}$

donc

$\left(\mathrm{Arctan}\ \frac1x + \mathrm{Arctan}\ x\right)' = 0~.$

On en déduit que Arctan(¹⁄_x) + Arctan(x) est constante sur ] 0,+∞ [, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant par exemple la valeur prise en x = 1.

• Une deuxième méthode est de remarquer que pour tout $x>0$, si $\theta$ désigne l'Arctan de $x$ alors

$\frac1x=\frac1{\tan\theta}=\tan\left(\frac\pi2-\theta\right)\qquad\text{et}\qquad0<\frac\pi2-\theta<\frac\pi2~,$ d'où

$\mathrm{Arctan}\ \frac1x=\frac\pi2-\theta=\frac\pi2-\mathrm{Arctan}\ x~.$

• Une troisième méthode est de déduire cette formule de la formule remarquable ci-dessous en faisant tendre y vers 1/x par valeurs inférieures.

Fonction réciproque

Par définition, Arctan est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tan à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ : $\forall y\in\left] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\ y = \mathrm{Arctan}\ x \Leftrightarrow x = \tan y$

Ainsi, pour tout réel x, tan(Arctan(x))=x. Mais l'équation Arctan(tan(y))=y n'est vérifiée que pour y compris entre -π/2 et π/2.

Logarithme complexe

On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :

$\mathrm{Arctan}(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)$

Démonstration détaillée

On réécrit la dérivée de la fonction arctangente :

$\begin{align}\mathrm{Arctan}'(x) & = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(\mathrm ix)^2} = \frac{1}{(1-\mathrm ix)(1+\mathrm ix)} = \frac{1}{2} \frac{(1-\mathrm ix)+(1+\mathrm ix)}{(1-\mathrm ix)(1+\mathrm ix)} \\ \ & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+\mathrm ix} + \frac{1}{1-\mathrm ix}\right) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\frac{\mathrm i}{1+\mathrm ix} - \frac{-\mathrm i}{1-\mathrm ix}\right) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\ln'(1+\mathrm ix) - \ln'(1-\mathrm ix)\right) \end{align}$

On intègre de chaque côté :

$\mathrm{Arctan}(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \left(\ln(1+\mathrm ix) - \ln(1-\mathrm ix)\right) + C = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right) + C$

Enfin, on calcule la constante d’intégration $C$ en $x=0$ :

$C \underset{x=0}{=} \mathrm{Arctan}(x) - \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right) = \mathrm{Arctan}(0) - \frac{1}{2\mathrm i} \ln(1) = 0$

On trouve donc finalement :

$\mathrm{Arctan}(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)$

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 est

$\int_0^x \mathrm{Arctan}(t)\;\mathrm dt = x \cdot \mathrm{Arctan} x - \frac{1}{2} \ln\left(1 + x^2\right)$

Cette formule se démontre grâce à une intégration par parties.

Utilisation de la fonction arctangente

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

$\frac1{ax^2+bx+c}$

Si le discriminant $D=b^2-4ac$ est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$

qui donne pour l'expression à intégrer

$\frac{4a}{|D|}\cdot\frac1{1+u^2}$

L'intégrale est alors

$\frac{2}{\sqrt{|D|}} \mathrm{Arctan}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}\right)$

Formule remarquable

$\mathrm{Arctan}~x+\mathrm{Arctan}~y=\mathrm{Arctan}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) + k\pi$

où

$k = 0 \quad \text{si} \quad xy < 1~,$

$k = 1 \quad \text{si} \quad xy>1 \quad \text{et} \quad x>0~,$

$k = -1 \quad \text{si} \quad xy>1 \quad \text{et} \quad x<0~.$

Démonstration

Supposons $xy\ne 1$ et posons $a=\mathrm{Arctan}~x,~b=\mathrm{Arctan}~y$. Alors,

$\tan(a+b)=\frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{x+y}{1-xy}~.$

Il suffit pour conclure de remarquer que $a+b$ appartient à

$]-\pi/2,\pi/2[\quad \text{si} \quad xy < 1~,$

$]\pi/2,\pi[\quad \text{si} \quad xy>1 \quad \text{et} \quad x>0~,$

$]-\pi,-\pi/2[\quad \text{si} \quad xy>1 \quad \text{et} \quad x<0~.$

Voir aussi

• Fonctions trigonométriques
• Arc cosinus
• Arc sinus