Arc tangente

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Représentation graphique

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la mesure d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2, π/2[. La notation française est en général Arc tan[1] ou Atan[réf. souhaitée], en remplacement de l'ancienne notation arctg, ou parfois arctan, notation recommandée par la norme ISO 31-11[2]. La notation anglo-saxonne s'écrit atan ou tan−1, bien que cette dernière puisse être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan).

Pour tout réel x :

y={\rm Arctan}\ x\iff\tan y=x\text{ et }y\in\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[.

Dans un repère cartésien (ortho)normé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2, π/2[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Parité[modifier | modifier le code]

La fonction Arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout x) -{\rm Arctan}(x)={\rm Arctan}(-x).

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arctan est dérivable et vérifie : {\rm Arctan}'(x)=\frac1{1+x^2}.

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente[3] est :

\forall x\in [-1,1]\quad
{\rm Arctan} (x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots

Cette série entière converge vers Arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz

\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots

La formule de Machin, plus sophistiquée,

\frac\pi4=4{\rm Arctan}\frac15-{\rm Arctan}\frac1{239},

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

De Arctan( 1/x) on peut déduire Arctan(x) et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

\forall x\in{\R_+^*},\ {\rm Arctan}\ \frac1x+{\rm Arctan}\ x=\frac\pi2
\forall x\in{\R_-^*},\ {\rm Arctan}\ \frac1x+{\rm Arctan}\ x=-\frac\pi2

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

Par définition, Arctan est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tan à l'intervalle ]-π/2, π/2[ : \forall x\in\R\quad y={\rm Arctan}\ x\iff\tan y=x\text{ et }y\in\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[.

Ainsi, pour tout réel x, tan(Arctan(x)) = x. Mais l'équation Arctan(tan(y)) = y n'est vérifiée que pour y compris entre –π/2 et π/2.

Dans le plan complexe, la fonction tan est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de Arctan s'étend donc en : \forall x\in\C\setminus\big({\rm i}\left(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\right)\big)\quad y={\rm Arctan}\ x\iff\tan x=y\text{ et }y\in\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[+{\rm i}~\R.

Logarithme complexe[modifier | modifier le code]

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction arctangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

\forall x\in\C\setminus\big({\rm i}\left(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\right)\big)\quad{\rm Arctan}(x)=\frac1{{\rm i}}{\rm artanh}({\rm i}x)=\frac1{2{\rm i}}{\rm Log}\left(\frac{1+{\rm i}x}{1-{\rm i}x}\right)=\frac1{2{\rm i}}\left({\rm Log}(1+{\rm i}x)-{\rm Log}(1-{\rm i}x)\right).

Intégration[modifier | modifier le code]

Primitive[modifier | modifier le code]

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 est

\int_0^x{\rm Arctan}(t)\,{\rm d}t=x{\rm Arctan}x-\frac12\ln\left(1+x^2\right).

Cette formule se démontre grâce à une intégration par parties.

Utilisation de la fonction arctangente[modifier | modifier le code]

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

\frac1{ax^2+bx+c}

Si le discriminant D = b2 – 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}

qui donne pour l'expression à intégrer

\frac{4a}{|D|}~\frac1{1+u^2}.

L'intégrale est alors

\frac2{\sqrt{|D|}}{\rm Arctan}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}\right).

Formule remarquable[modifier | modifier le code]

{\rm Arctan}~x+{\rm Arctan}~y={\rm Arctan}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+k\pi

 k = 0 \quad \text{si} \quad xy < 1,
 k = 1 \quad \text{si} \quad xy>1 \quad \text{et} \quad x>0,
 k = -1 \quad \text{si} \quad xy>1 \quad \text{et} \quad x<0.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Arkustangens und Arkuskotangens » (voir la liste des auteurs)

  1. « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
  2. Extraits de la norme à l'usage des CPGE, p. 6.
  3. Connue des anglophones sous le nom de « série de Gregory », elle avait en fait été déjà découverte par le mathématicien indien Madhava au XIVe siècle. Voir l'article Série de Madhava (en) pour plus de détails.