Arc sinus

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Représentation graphique

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le sinus vaut ce nombre, et comprise au sens large entre −π/2 et π/2.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus en radians est en général notée[1] Arc sin ou Asin en notation française (bien que la norme ISO 31-11 recommande la notation arcsin[2]), et sin−1, parfois asin ou asn, en notation anglo-saxonne. Il s'agit alors de la bijection réciproque de la fonction sinus sur l'intervalle [-π/2, π/2].

Dans un repère cartésien (ortho)normé du plan, la courbe représentative de la fonction Arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [-π/2, π/2] par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une bijection réciproque, Arcsin est dérivable sur ]−1, 1[ et vérifie

 \mathrm{Arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation

\cos(\operatorname{Arcsin}(x))=\sqrt{1-x^2}.

Forme intégrale indéfinie[modifier | modifier le code]

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

 \mathrm{Arcsin}(x) = \int_0^x\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}\, \mathrm dt.

Primitives[modifier | modifier le code]

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

 \int \mathrm{Arcsin}(x) \, \mathrm dx = x \operatorname{Arcsin}(x) + \sqrt{1-x^2} + C.

Arccos(x) (bleu) et Arcsin(x) (rouge)

Relation entre Arc sinus et Arc cosinus[modifier | modifier le code]

Voir section détaillée « Relation entre Arc cosinus et Arc sinus » de l'article « Arc cosinus »
\mathrm{Arccos}(x)+\mathrm{Arcsin}(x)=\frac\pi2.

Forme logarithmique[modifier | modifier le code]

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

 \mathrm{Arcsin}(x) = -{\rm i}\ln\left({\rm i}x+\sqrt{1-x^2}\right).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
  2. Extraits de la norme à l'usage des CPGE, p.6