Finesse (aérodynamique)

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La finesse est une caractéristique aérodynamique; c'est le rapport entre la portance et la traînée.

Elle est souvent désignée par le terme anglophone L/D ratio (Lift/Drag ratio = rapport portance/traînée).

On définit aussi la finesse comme le rapport C_z \over C_x, à condition que ces deux coefficients soient rapportés à la même surface.

Définition

Schéma définissant assiette, incidence et pente.

La finesse d'un aérodyne à voilure fixe est le rapport entre sa portance et sa traînée aérodynamique. En vol plané (sans force de traction/propulsion) à vitesse vraie (vitesse de l'aéronef par rapport à la masse d'air dans laquelle il se déplace) constante, et donc à pente constante, elle est égale au rapport entre la distance horizontale parcourue et la hauteur de chute ou encore au rapport entre la vitesse horizontale et la vitesse verticale (taux de chute). Bien sûr, cette définition est à adapter suivant l'objet étudié: voile de bateau, profil de carène...

finesse = {P \over T}={{distance~horizontale~parcourue} \over {hauteur perdue}}={v_{horizontale}\over v_{verticale}}

Pour un aérodyne donné, la finesse varie en fonction de l'incidence de l'aile. Cependant, comme le coefficient de portance varie aussi avec l'angle d'incidence, pour obtenir une portance équivalente au poids, il faut adapter la vitesse. C'est pourquoi la finesse varie avec la vitesse.

Dans le cas d'un planeur, la finesse varie en fonction de la vitesse sur trajectoire en suivant une courbe qu'on appelle la polaire des vitesses.
Cette courbe représente le taux de chute en fonction de la vitesse sur trajectoire (ou « vitesse indiquée »). Elle est croissante entre la valeur de la vitesse de décrochage jusqu'à la valeur de la vitesse correspondant au taux de chute minimal, puis décroissante au-delà.

Glide ratio.gif

À vitesse constante, la |pente| = atan({1 \over finesse})

Par exemple, une finesse de 7 correspond à un angle de plané de ~8° ;

Valeurs typiques[modifier | modifier le code]

Les avions ont généralement des finesses comprises entre 8 et 15, rarement plus de 20 :

les avions de ligne ont des finesses comprises entre 15 et 20
le Concorde avait une finesse de 4 au décollage, 11.5 à Mach 0.95 et 7.3 à Mach 2.

Les derniers prototypes de "wingsuit" permettent d'atteindre une finesse de 3.

Les parapentes modernes ont une finesse comprise entre 9 et 13[1].

Les deltaplanes "souples" modernes ont une finesse comprise entre 14 et 16.

Les deltaplanes "rigides" modernes ont une finesse comprise entre 18 et 22.

Les planeurs de construction en bois et toile de 27 à 32.

les Planeurs plastiques ont commencé à 30 et sont à plus de 60 actuellement. Les "Aigles blancs"

Typiquement, sur un planeur moderne :

la vitesse de finesse maximale se situe entre 80 et 120 km/h selon le modèle et la charge alaire[2],[3],
la vitesse de taux de chute minimal est de l'ordre de 80 km/h et le taux de chute correspondant de l'ordre de 0,8 à 0,5 m/s,
la vitesse de décrochage est de l'ordre de 70 km/h.

Finesse commune comprise entre 40 et 60.

Equivalence entre les définitions[modifier | modifier le code]

Forces en vol plané

Système : avion

Référentiel : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces extérieures au système:

  • Portance F_z perpendiculaire à la vitesse de déplacement de l'avion
  • Traînée F_x opposée à la vitesse de déplacement de l'avion
  • Poids mg


D'après la deuxième loi de Newton on a :

Sur Ox : m{dV \over dt} = -{1 \over 2} \rho V^2 S C_x -mg ~sin\gamma

Sur Oz : 0 = {1 \over 2} \rho V^2 S C_z - mg ~cos \gamma


Et donc, pour un vol plané à vitesse vraie constante :

finesse = {1 \over tan|\gamma|} = {distance~horizontale~parcourue \over hauteur~perdue} = {v_{horizontale}\over v_{verticale}}

Finesse air et Finesse sol[modifier | modifier le code]

La finesse air d'un aéronef est donnée par rapport à la masse d'air dans laquelle il se déplace. C'est souvent celle que le constructeur annonce car elle est indépendante du vent.

La finesse sol, elle, est calculée par rapport au sol (c'est souvent la plus intéressante : c'est celle qui détermine si un parcours jusqu'à un but est possible ou non). Cette finesse doit tenir compte du déplacement de l'air (du vent) par rapport au sol.

Quand l'aéronef se déplace dans la direction et le sens du vent la finesse sol augmente et inversement. Par vent fort de face, l'aéronef peut avoir une vitesse sol et une finesse sol faibles ou négatives, ce qui sera d'ailleurs souvent une raison suffisante pour annuler le vol.

Finesse air et finesse sol sont égales lorsque l'air est calme et ne subit aucun mouvement vertical ni horizontal.

Calcul de la finesse maximale[modifier | modifier le code]

Relation entre la traînée induite et la traînée parasite[modifier | modifier le code]

Courbes montrant les trainée induite, parasite ainsi que la trainée combinée par rapport à la vitesse de l'air

On va montrer qu'un aéronef atteint sa finesse maximale lorsque la traînée induite est égale à la traînée parasite'''.

La traînée parasite R_p causée par la résistance de l'air peut s'écrire sous la forme

R_p = q S C_x

où C_{xp} est le coefficient de traînée parasite et on a C_{xp} = cte. Soit b l'envergure de l'aile et c sa corde moyenne (~ largeur moyenne de l'aile).

On pose \lambda = {b \over c} l'allongement de l'aile. On rappelle que S = {b^2 \over \lambda}

On note \rho la masse volumique de l'air. On obtient :

R_p = {1 \over 2} \rho V^2 S C_{xp} = {1 \over 2} {\rho b^2 V^2 C_{xp} \over \lambda}

La traînée induite R_i s'exprime comme suit :

R_i = 2 {F_z^2 \over b^2 \rho V^2 \pi e} = {1 \over 2} \rho V^2 S C_{xi} avec C_{xi} = {C_z^2 \over \lambda \pi e}

où F_z est la portance, V est la vitesse de l'aéronef et e est le coefficient d'Oswald.

Lorsqu'un avion ou planeur est en vol, la traînée induite R_i(V) et la traînée parasite R_p(V) s'ajoutent et constituent la traînée totale :

R(V) = {1 \over 2} \rho V^2 S C_x avec C_x = C_{xp} + C_{xi}

Pour ne pas alourdir les calculs avec des racines carrés dans la suite on exprimera non pas la finesse f, mais la finesse au carré et on a alors :

f^2 = {C_z^2 \over C_x^2} = {\lambda \pi e C_{xi} \over C_x^2} = { \lambda \pi e} {C_x - C_{xp} \over C_x^2}

On dérive par rapport à C_x :

2f {df \over dC_x} = \lambda \pi e {-C_x^2 + 2 C_{xp}C_x \over C_x^4}

Pour que f soit maximale il faut que {df \over dC_x} = 0 ce qui revient ici à déterminer les racines d'un polynôme du second degré en C_x.

On obtient donc que  f_{max} est atteinte quand {C_x = 2 C_{xp}} c'est-à-dire :

C_{xp} = C_{xi} et donc R_p = R_i

Ce qui signifie que la traînée induite est égale à la traînée parasite.

Vitesse optimale[modifier | modifier le code]

On pose \alpha = {2 F_z^2 \over b^2 \rho \pi e} et \beta = {1 \over 2} {\rho b^2 C_{xp} \over \lambda}. On a alors :

 R_i(V) = {\alpha \over V^2} \qquad R_p(V) = \beta V^2

Le planeur atteindra sa finesse maximale en air calme lorsque la traînée induite sera égale à la traînée parasite, c'est-à-dire :

{\alpha \over V^2} = \beta V^2

 V_f = \left({\alpha \over \beta}\right)^{1 \over 4} =
{\sqrt{2} \over (\pi e)^{1 \over 4} b} \times \sqrt{F_z \over \rho} \times \left({\lambda \over C_{xp}}\right)^{1 \over 4}

Calcul de la finesse maximale[modifier | modifier le code]

De plus, la finesse maximale est une caractéristique de l'aéronef et est donc constante (tant que les caractéristiques de l'aéronef sont inchangées).

Dans ce qui suit, on démontre cette assertion qui ne semble pas évidente. On rappelle que lorsque la planeur atteint sa finesse maximale la traînée induite est égale à la traînée parasite. On obtient donc :

\tan|\gamma| = {R_i(V) + R_p(V) \over F_z} = {2 R_p(V) \over F_z} = {\rho C_x b^2 V^2\over \lambda F_z} =
{\rho C_x b^2 \over\lambda F_z} \times \left(
{\sqrt{2} \over (\pi e)^{1 \over 4} b} \times \sqrt{F_z \over \rho} \times \left({\lambda \over C_{xp}}\right)^{1 \over 4}\right)^2

Et donc :

tan |\gamma| = 2 \sqrt{C_{xp} \over \lambda \pi e}

Et donc :

 {1 \over tan |\gamma|} = f = {1 \over 2} \sqrt{\lambda \pi e \over C_{xp}}

Comme annoncé ci-dessus, la finesse maximale ne dépend pas de la masse du planeur et ni de la densité de l'air environnant. Elle dépend uniquement de l'aérodynamisme du planeur et de sa géométrie (allongement) : la finesse maximale est une caractéristique de l'aéronef et est don constante. Ceci justifie a posteriori que la vitesse de chute du planeur augmentera en même temps que sa masse. Donc, lorsque les conditions aérologiques sont moins favorables[note 1], il est préférable de minimiser la masse du planeur pour minimiser la vitesse de chute et donc de ne pas ajouter d'eau dans les ailes ou, si l'on est déjà en vol, de vidanger les ailes.

De plus, plus \lambda est grand, plus \gamma \approx tan\gamma sera petit. Donc, les planeurs ayant des grandes ailes, pour une surface ailaire équivalente, aura un plus petit angle de plané et donc une plus grande finesse. Ceci est la raison pour laquelle certains planeurs de compétition en classe libre peuvent avoir jusqu'à 30 mètres d'envergure.

Effet de la masse sur la vitesse optimale[modifier | modifier le code]

On considère un planeur de masse m volant à sa vitesse de finesse maximale V_1. On a donc :

C_{xp} = {4 \over \lambda \pi e} ~{m^2 g^2 ~{cos^2} \gamma  \over \rho^2 S^2 {V_1}^4 }

On considère maintenant le même planeur auquel on a ajouté de l'eau et qui a une masse M et une vitesse de finesse maximale V_2. On a alors :

 {4 \over \lambda \pi e} ~{m^2 g^2 ~{cos^2} \gamma  \over \rho^2 S^2 {V_1}^4 } = C_{xp} =  {4 \over \lambda \pi e} ~{M^2 g^2 ~{cos^2} \gamma  \over \rho^2 S^2 {V_2}^4 }

Donc,

{m^2 \over {V_1}^4} = {M^2 \over {V_2}^4}

Donc,

\left({V_2\over V_1}\right)^4 = \left({M \over m}\right)^2

et donc:

 {V_2 \over V_1} = \sqrt{M \over m} .

On constate que la vitesse optimale varie donc comme la racine carrée de la masse du planeur.

En augmentant la masse, on augmente donc aussi la vitesse de finesse maximale mais la valeur de la finesse maximale elle reste constante. La finesse étant égale au taux de chute, ceci signifie que le même planeur auquel on ajoute de l'eau aura la même portée, mais volera plus vite pour maintenir son taux de chute constant.

Polaire des vitesses[modifier | modifier le code]

On évalue maintenant la vitesse de chute en fonction de la vitesse horizontale pour n'importe quelle vitesse. On a:

tan \gamma = {R_i(V) + R_p(V) \over F_z} = {2 F_z \over b^2 \rho V^2 \pi e} + {\rho C_{xp} b^2 V^2\over 2 \lambda F_z}

La polaire des vitesses exprime la vitesse de chute V_z en fonction de la vitesse horizontale. Etant donné que \gamma est très petit, on a : tan \gamma \approx \gamma

On peut donc considérer que V_z = \gamma V. Donc,

V_z = \left( {2 F_z \over b^2 \rho V^2 \pi e} + {\rho C_{xp} b^2 V^2\over 2 \lambda F_z}\right) V

Cette formule exprime la polaire des vitesses. On constate que pour V grand, la finesse décroît comme le carré de la vitesse horizontale.

Vitesse de chute minimum[modifier | modifier le code]

En reprenant les notations ci-dessus, on a :

V_z = {\alpha \over F_z V} + {\beta V^3 \over F_z}

On appelle vitesse minimale V_m la vitesse horizontale pour laquelle le taux de chute minimal est atteint. Elle est atteinte lorsque {dV_z  \over dV} = 0. On obtient donc :

- {\alpha \over F_z V_m^2} + 3 {\beta V_m^2 \over F_z} = 0

Soit V_f la vitesse à finesse maximale. Donc,

 V_m = \left({\alpha \over 3 \beta}\right)^{1 \over 4} = { \left ( {1 \over 3} \right ) } ^ {1 \over 4} ~ V_f

On obtient donc :

V_m \approx 0.76 \times V_f

On considère le planeur Alexander Schleicher ASW 27 qui a une finesse maximum de 48 à 100 km/h. En examinant la polaire des vitesses, on constate que la vitesse de chute minimum est à 77 km/h ce qui correspond donc à la formule ci-dessus[4].

La finesse dans d'autres domaines[modifier | modifier le code]

La notion de finesse s'applique aussi à d'autres domaines de la dynamique des fluides.

Voile[modifier | modifier le code]

Une voile est aussi un profil. La notion de finesse s'applique donc aussi à ce profil, mais de plusieurs façons. Pour approfondir voir : finesse d'une voile de bateau.

Hélice de navire[modifier | modifier le code]

Une hélice est composée de plusieurs pales. Chaque pale à un profil. La définition de finesse est identique à la finesse aérodynamique, le fluide ici étant de l'eau.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Lorsque les ascendances (mouvements verticaux ascendants de l'air environnant) sont moins fortes