Filtre de Gabor

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Un filtre de Gabor est un filtre linéaire dont la réponse impulsionnelle est une sinusoïde modulée par une fonction gaussienne (également appelée ondelette de Gabor). Il porte le nom du physicien anglais d'origine hongroise Dennis Gabor.

Exemple de filtre de Gabor bidimensionnel

Expression temporelle (ou spatiale)

Dans le domaine temporel (ou spatial s'il s'agit d'une image), un filtre de Gabor est le produit d'une sinusoïde complexe et d'une enveloppe gaussienne:

$g(x) = \exp\bigg(2j\pi u_0 x + \phi\bigg) \times \exp\Bigg( - \frac{(x-x_0)^2}{\sigma_x} \Bigg)$

Ce qui donne en deux dimensions: $g(x, y) = \exp\bigg(2j\pi\cdot (u_0\cdot x + v_0\cdot y) + \phi\bigg) \times \exp\Bigg( - \bigg( \frac{(x-x_0)^2}{\sigma_x} + \frac{(y-y_0)^2}{\sigma_y} \bigg)\Bigg)$

Il peut être pratique de la voir comme un couple de fonctions réelles, déphasées de $\frac{\pi}{2}$. Il s'agit alors de la partie réelle et la partie imaginaire de la fonction complexe.

Dans le cas du traitement d'image (deux dimensions) cela donne par exemple:

• $G_1(x,y) = \cos(ax + by)\cdot \exp\bigg(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\bigg)$
• $G_2(x,y) = \sin(ax + by)\cdot \exp\bigg(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\bigg)$

où les variables a et b déterminent la fréquence et l'orientation du filtre. Le terme $\sigma~$ détermine son étendue en modifiant la variance de la gaussienne.

Expression fréquentielle

Dans le domaine fréquentiel, un filtre de Gabor est une gaussienne:

Voir aussi

• Dennis Gabor