Filtre de Butterworth

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Diagramme de Bode d'un filtre de Butterworth passe-bas du premier ordre

Un filtre de Butterworth est un type de filtre linéaire, conçu pour posséder un gain aussi constant que possible dans sa bande passante.

Les filtres de Butterworth furent décrits pour la première fois par l'ingénieur britannique Stephen Butterworth (en)[1].

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

Gains de filtres de Butterworth passe-bas d'ordre 1 à 5 en fonction de la fréquence

Le gain d'un filtre de Butterworth est le plus constant possible dans la bande passante et tend vers 0 dans la bande de coupure. Sur un diagramme de Bode logarithmique, cette réponse décroît linéairement vers -∞, de -6 dB/octave (-20 dB/décade) pour un filtre de premier ordre, -12 dB/octave soit -40 dB/decade pour un filtre de second ordre, -18 dB/octave soit -60 dB/decade pour un filtre de troisième ordre, etc.


Fonction de transfert[modifier | modifier le code]

Comme pour tous les filtres linéaires, le prototype étudié est le filtre passe-bas, qui peut être facilement modifié en filtre passe-haut ou placé en série pour former des filtres passe-bande ou coupe-bande.

Le gain d'un filtre de Butterworth passe-bas d'ordre n est :

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ^ {2 n}} }

G_n est le gain du filtre,

H_n sa fonction de transfert,
j l'unité imaginaire :  j ^2 = -1 (les électroniciens utilisent la lettre j au lieu de i pour ne pas confondre avec i de l'intensité)
\omega la fréquence angulaire (ou pulsation) du signal en radians par seconde (rad.s-1) (\omega = 2 \pi f )
et \omega_\mathrm{c} la fréquence de coupure (angulaire) du filtre (à -3 dB).

En normalisant l'expression (c’est-à-dire en spécifiant \omega_\mathrm{c} = 1) :

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }

Les 2n-1 premières dérivées de G_n sont nulles pour \omega = 0, impliquant une constance maximale du gain dans la bande passante.

Aux hautes fréquences :

{{\left | H(j \omega) \right |}_{dB}} \sim -20\times n \,\log_{10}{\omega}

Le roll-off du filtre (la pente du gain dans un diagramme de Bode) est de -20n dB/décade, où 'n' est l'ordre du filtre.

Le gain ne représente que le module de la fonction de transfert H(p) (au sens de la transformée de Laplace), ce qui laisse une certaine latitude pour déterminer cette dernière. On doit avoir

H(p)H(-p) = \frac {{G_0}^2}{1+\left (-\frac{p^2}{\omega_c^2}\right)^n}

Les pôles de cette expression sont équirépartis sur un cercle de rayon ωc. Pour que le filtre soit stable, on choisit les pôles de la fonction de transfert comme ceux de H(p)H(-p) ayant une partie réelle négative. Le k-ième pôle est donné à l'aide des racines n-ièmes de l'unité :

-\frac{p_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}}
\qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n}

d'où

p_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n}

La fonction de transfert s'écrit en fonction de ces pôles :

H(p)=\frac{G_0}{\prod_{k=1}^n (p-p_k)/\omega_c}

Le polynôme au dénominateur est appelé polynôme de Butterworth.

n Polynôme de Butterworth B_n(p) pour ωc = 1.
1 (p+1)
2 p^2+1.4142p+1
3 (p+1)(p^2+p+1)
4 (p^2+0.7654p+1)(p^2+1.8478p+1)
5 (p+1)(p^2+0.6180p+1)(p^2+1.6180p+1)
6 (p^2+0.5176p+1)(p^2+1.4142p+1)(p^2+1.9319p+1)
7 (p+1)(p^2+0.4450p+1)(p^2+1.2470p+1)(p^2+1.8019p+1)
8 (p^2+0.3902p+1)(p^2+1.1111p+1)(p^2+1.6629p+1)(p^2+1.9616p+1)

Les polynômes normalisés de Butterworth peuvent être utilisés pour déterminer les fonctions de transfert de filtre passe-bas pour toute fréquence de coupure \omega_c selon que:

H(p) = \frac{G_0}{B_n(a)} , où a = \frac{p}{\omega_c}

Comparaisons[modifier | modifier le code]

Diagramme de Bode des gains d'un filtre de Butterworth, d'un filtre de Tchebychev de type 1, d'un filtre de Tchebychev de type 2 et d'un filtre elliptique

Les filtres de Butterworth sont les seuls filtres linéaires dont la forme générale est similaire pour tous les ordres (mis à part une pente différente dans la bande de coupure).

Par comparaison avec les filtres de Tchebychev ou elliptiques, les filtres de Butterworth ont un roll-off plus faible qui implique d'utiliser un ordre plus important pour une implantation particulière. Leur gain est en revanche nettement plus constant dans la bande passante.

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

Schéma type d'une réalisation Cauer-1 d'un filtre de Butterworth

Un filtre de Butterworth dont on connaît la fonction de transfert peut être réalisé électroniquement suivant la méthode de Cauer. Le ke élément d'un tel circuit est donné par :

C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] (k impair)
L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ] (k pair)


Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) S. Butterworth, « On the Theory of Filter Amplifiers », Wireless Engineer, vol. 7,‎ 1930, p. 536-541

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]