Fenêtrage

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En traitement du signal, le fenêtrage est utilisé dès que l'on s'intéresse à un signal de longueur volontairement limité. En effet, un signal réel ne peut qu'avoir une durée limitée dans le temps ; de plus, un calcul ne peut se faire que sur un nombre fini de points.

Principe[modifier | modifier le code]

Pour observer un signal sur une durée finie, on le multiplie par une fonction fenêtre d'observation (également appelée fenêtre de pondération ou d'apodisation). La plus simple est la fenêtre rectangulaire (ou porte), définie telle que :

 h(t)  = \begin{cases} 1  & \mbox{ si } t \in [0,T] \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}

Ainsi, quand on multiplie un signal s(t) par cette fenêtre, on n'obtient plus que les T premières secondes de ce signal : on l'observe donc que sur une durée T. Toute observation étant de durée limitée, on applique forcément une fenêtre par rapport à un signal théorique infini ; on utilise donc au moins une fenêtre, même si on l'applique sans s'en rendre compte.

Au lieu d'étudier le signal s(t), on étudie le signal tronqué : s_h(t) = s(t)h(t) ; en passant dans le domaine fréquentiel via une transformée de Fourier (TF), on obtient le produit de convolution S_h(f) = S(f) * H(f), où H(f) est la TF de la fenêtre.

L'utilisation d'une fenêtre de pondération va changer la transformée de Fourier du signal.

Fenêtres courantes[modifier | modifier le code]

Allures temporelles de quelques fenêtres

Fenêtre rectangulaire, qui conduit à l'approximation sigma :  h(t)  = \begin{cases} 1  & \mbox{ si } t \in [0,T] \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}

Fenêtre triangulaire (de Bartlett) :  h(t) = \begin{cases} \frac{2t}{T} & \mbox{ si } t \in [0,\frac{T}{2}[ \\ \frac{2(T - t)}{T} & \mbox{ si } t \in [\frac{T}{2},T] \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}

Fenêtre de Hann :  h(t) = \begin{cases} 0.5 - 0.5\cos{2\pi \frac{t}{T}} & \mbox{ si } t \in [0,T] \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}

Fenêtre de Hamming :  h(t) = \begin{cases} 0.54 - 0.46\cos{2\pi \frac{t}{T}} & \mbox{ si } t \in [0,T] \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}

Fenêtre de Blackman :  h(t) = \begin{cases} 0.42 - 0.5\cos{2\pi \frac{t}{T}} + 0.08\cos{4\pi \frac{t}{T}} & \mbox{ si } t \in [0,T] \\ 0 & \mbox{ sinon.} \end{cases}

Et d'autres : Fenêtre de Kaiser (de paramètre \alpha), gaussienne, flat top, en cosinus relevé, ...

À noter : la fenêtre de Hann est quelquefois appelée « fenêtre de Hanning », peut-être par analogie avec la « fenêtre de Hamming ». C'est incorrect, ces noms sont en fait issus des noms de leurs inventeurs (respectivement Julius von Hann et Richard Hamming).

Dans le domaine des fréquences[modifier | modifier le code]

La TF du signal analysé est convoluée avec la TF de la fenêtre ; dans l'idéal, pour ne pas biaiser le spectre initial, il faudra que l'allure de la fenêtre spectrale soit une fonction de Dirac. Or, le signal temporel ayant un spectre en fonction de dirac est un signal constant infini, ce qui est impossible en pratique.

Les allures spectrales des fenêtres de pondérations présentent une succession de lobes : pour se rapprocher d'une fonction de Dirac, il faut que le lobe principal soit le plus étroit possible, tandis que les lobes secondaires doivent être les plus faibles possible. Plus le lobe principal d'une fenêtre aura tendance à être étroit, plus ses lobes secondaires seront importants...

Il y a donc toujours un compromis à faire entre largeur du lobe principal et importance des lobes secondaires.

Quelques visualisations dans le domaine des fréquences, les représentations sont linéaires à gauche, logarithmiques à droite (cliquez pour agrandir) :

Allures fréquentielles de quelques fenêtres
Allures fréquentielles de quelques fenêtres

On remarque que la fenêtre rectangulaire a le lobe principal le plus étroit, mais ses lobes secondaires sont les plus importants ; au contraire, celle de Blackman a les plus faibles lobes secondaires, mais un lobe principal plus large. Le type de fenêtre est à choisir selon ce qu'on souhaite observer d'un spectre : la localisation des maximums, la localisation de l'énergie selon les fréquences, la valeur des maximums, etc.

Voici les principales caractéristiques des fenêtres d'analyse courantes :

Fenêtre Lobe 2aire (dB) Pente (dB/oct) Bande passante (bins) Perte au pire des cas (dB)
Rectangulaire −13 −6 1,21 3,92
Triangulaire −27 −12 1,78 3,07
Hann −32 −18 2,00 3,18
Hamming −43 −6 1,81 3,10
Blackman-Harris 3 −67 −6 1,81 3,45

Influence de la taille de la fenêtre[modifier | modifier le code]

Plus la fenêtre choisie aura une grande durée temporelle, plus elle sera étroite dans le domaine fréquentiel. Ainsi, en prenant une fenêtre infiniement longue temporellement, on aboutit à la limite à un dirac en fréquence, qui est l'élément neutre du produit de convolution.

Ainsi, pour une fenêtre infiniment longue, on retrouve le spectre « réel » du signal analysé, qui correspond effectivement à la TFD d'un signal de durée infinie.

Références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Cornelius Lanczos, Linear differential operators, Londres & New York, éd. van Nostrand,‎ 1961 (réimpr. 1997) (ISBN 0-486-68035-5), « Local smoothing by integration »
  • (en) Forman S. Acton, Numerical Methods that (usually) Work, The Mathematical Association of America,‎ 1970 (réimpr. 1997), 569 p. (ISBN 0883854503), « Fourier Series »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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