Faisceau injectif

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En mathématiques, un faisceau injectif est un objet injectif (en) d'une catégorie abélienne de faisceaux.

Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique X fixé, un faisceau I est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau A d'un faisceau B, tout morphisme injectif de A dans I se prolonge en un morphisme de B dans I. Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche Hom_{Faisc(X)}(\_,I) est exact.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lemme — Tout faisceau F de groupes abéliens sur X se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

On en déduit immédiatement :

Théorème — Tout faisceau F de groupes abéliens sur X admet une résolution injective, c'est-à-dire qu'il existe une suite exacte longue
0\to F\to I^0\to I^1\to\ldots\to I^n\to\ldots
où tous les I^n sont des faisceaux injectifs de groupes abéliens sur X.

Preuve du lemme[modifier | modifier le code]

Pour tout faisceau A de groupes abéliens, on a  Hom_{Faisc(X)}(A,I(x))\cong Hom_{\Z}(A_x,I_x). Il s'ensuit que I(x) est un faisceau injectif.

  • Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle
    F\to I^0:=\prod_{x\in X}I(x)
    est un monomorphisme de F dans un faisceau injectif.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Module injectif