Facteurs de Gebhart

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Les facteurs de Gebhart sont utilisés dans les transferts de chaleur par rayonnement.

Définition[modifier | modifier le code]

La facteur de Gebhart d'une surface décrit la part de rayonnement absorbée par toute autre surface sur le rayonnement total émis par cette surface.

Le calcul nécessite la détermination préalable des facteurs de forme.

La méthode de Gebhart présuppose des corps gris éclairés de façon diffuse et uniforme.

La facteur de Gebhart peut s'écrire :

 B_{ij} = \frac{ Q_{ij}} {\epsilon_{i}  \cdot A_{i}  \cdot \sigma  \cdot T_{i}^{4}}

  • B_{ij} est le facteur de Gebhart
  • Q_{ij} est le transfert de chaleur de la surface i à la surface j
  • A est l'aire de la surface
  • T est la température

Le dénominateur peut être identifié avec la loi de Stefan-Boltzmann.

On peut également montrer[1] que :

B_{ij} =  F_{ij}  \cdot \epsilon_j  + \sum_{k=1}^{N_s}((1-\epsilon_k) \cdot F_{ik}  \cdot B_{kj})

F_{ij} est le facteur de forme de i à j

Plusieurs approches existent pour résoudre ces équations comme un système d'équations linéaires, par élimination gaussienne ou autre.

Propriété[modifier | modifier le code]

Par définition, les facteurs de Gebhart respectent la propriété suivante :

 \sum_{j=1}^{N_s}(B_{ij}) = 1

Historique[modifier | modifier le code]

La méthode a été élaborée par Benjamin Gebhart en 1957[2]. Elle a permis de diminuer la puissance de calcul nécessaire, en comparaison avec des tracés de rayon comme dans la Méthode de Monte Carlo (MCM)[3].

Une méthode alternative consiste à calculer les radiosités[4].

Utilisation[modifier | modifier le code]

Calcul du flux net[modifier | modifier le code]

Le facteur B_{ij} peut ensuite être utilisé pour calculer le flux net d'énergie transférée d'une surface à une autre, pour une surface opaque :

q_{i} = A_{i} \cdot \epsilon_i \cdot \sigma \cdot T_{i}^4 - \sum_{j=1}^{N_s} A_{j} \cdot \epsilon_{j} \cdot B_{ji} \cdot T_{j}^4

De par les propriétés géométriques, on peut montrer que :

 \epsilon_{i} \cdot  A_{i}  \cdot B_{ij} = \epsilon_{j}  \cdot A_{j}  \cdot B_{ji}

On peut donc écrire, ici pour un transfert entre les surfaces 1 et 2 :

q_{1-2} = A_{1} \cdot  \epsilon_{1}  \cdot B_{12}  \cdot \sigma  \cdot (T_{1}^4-T_{2}^4)

Logiciels[modifier | modifier le code]

La méthode de calcul des échanges radiatifs par les facteurs de Gebhart est utilisée dans plusieurs logiciels, comme TMG[5], TRNSYS...

Références[modifier | modifier le code]

  1. D. E. BORNSIDE, T. A. KINNEY AND R. A. BROWN, "Finite element/Newton method for the analysis of Czochralski crystal growth with diffuse-grey radiative heat transfer . International Journal for Numerical Methods in Engineering".
  2. B. Gebhart, "Surface temperature calculations in radiant surroundings of arbitrary complexity--for gray, diffuse radiation. International Journal of Heat and Mass Transfer".
  3. Chin, J. H., Panczak, T. D. and Fried, L. (1992), "Spacecraft thermal modeling. International Journal for Numerical Methods in Engineering".
  4. Korybalski, Michael E. Clark, John A. (John Alden), "Algebraic Methods for the Calculation of Radiation Exchange in an Enclosure"
  5. (en) « Radiation », SDRC, SDRC/APIC,‎ 2000-01-01 (consulté le 2010-11-26)

Voir aussi[modifier | modifier le code]