Extremum

L'expression « élément extremum » signifie « élément maximum » ou « élément minimum ».

Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, sous condition d'existence, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De manière analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.

Généralités

Unicité

Si une partie A de E admet deux maxima, m₁ et m₂, alors m₁ est plus grand que tout élément de A, donc en particulier que m₂ ; et de même, m₂ est plus grand que m₁. Par antisymétrie des relations d'ordre, l'égalité m₁=m₂ s'en déduit.

Comparaison avec d'autres notions

D'autres notions relatives aux ensembles ordonnés sont proches de celles de maximum ; les comparer permet de mieux les appréhender :

• La notion de majorant : un élément de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout élément de A. Ainsi, le maximum (s'il existe) fait partie des majorants ;
• La notion de borne supérieure : la borne supérieure de A est le plus petit de tous les majorants de A dans E (la borne supérieure de A est donc définie comme le minimum d'une certaine partie de E et son unicité est garantie mais pas son existence). A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure existe et appartient à A (et dans ce cas, elle est égale au maximum) ;
• La notion d'élément maximal : un élément de A est maximal dans A, s'il appartient à A, et n'est inférieur à aucun autre élément de A. Un maximum est toujours un élément maximal, et les deux notions coïncident dans les ensembles munis d'un ordre total.

Vérifications

• Un élément m de E est le maximum de A si et seulement si m est la borne supérieure de A et m appartient à A : si A possède un maximum m alors dans E, les majorants de A sont exactement les majorants de m et m est le plus petit d'entre eux donc c'est la borne supérieure de A. Réciproquement, si la borne supérieure de A existe et appartient à A, alors c'est un majorant de A qui appartient à A, donc c'est le maximum de A.
• Le maximum, s'il existe, est maximal : si A possède un maximum m alors, pour tout élément a de A, m majore a donc (par antisymétrie de la relation d'ordre) ne lui est pas strictement inférieur, ce qui montre que m est bien maximal dans A.
• Si l'ordre est total, tout élément maximal est maximum : on suppose maintenant E muni d'un ordre total. Soit a un élément maximal de A. Soit b un autre élément de A. Alors a n'est pas inférieur à b donc, puisque l'ordre est total, b est inférieur à a. Donc a est bien supérieur ou égal à tout élément de A, donc c'est le maximum de A.

Exemples

Dans l'ensemble N des entiers naturels muni de son ordre usuel, toute partie non vide admet un plus petit élément et toute partie majorée (c'est-à-dire admettant un majorant) est finie donc admet même un maximum. Par exemple N lui-même a pour minimum 0 et n'a pas de maximum.

Dans l'ensemble R des nombres réels muni de son ordre usuel, certaines parties majorées n'admettent pas de plus grand élément, par exemple l'intervalle ]0, 1[ des nombres strictement compris entre 0 et 1.

Dans un ensemble ordonné muni d'un ordre non total, certaines parties admettent des éléments maximaux qui ne sont pas des maxima.

Par exemple dans l'ensemble E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} des parties de l'ensemble {0, 1}, ordonné par l'inclusion, la partie A = {∅, {0}, {1}} admet (un minimum et) deux éléments maximaux non comparables donc pas de maximum (seulement une borne supérieure : {0, 1}, qui n'appartient pas à A).

Extrema d'une fonction

Le maximum d'une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F ordonné est le maximum de l'ensemble des valeurs prises par f (de la partie f(E) de F). Ainsi m est le maximum de f s'il existe un élément a de E tel que f(a) = m et tel que pour tout élément x de E, f(x) ≤ f(a) ; l'élément a (qui n'est pas nécessairement unique) est appelé point de maximum de f.

Dans le cas où l'espace de départ de f est muni d'une structure topologique (par exemple si f est une fonction d'une ou plusieurs variables réelles à valeurs réelles), on distingue deux types d'extrema : les extrema globaux, qui correspondent à la définition précédente, et les extrema locaux.

Extremum local d'une fonction

Soient une fonction f définie sur un espace topologique E et a un point de E. On dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(x) ≤ f(a).

On dit alors que f(a) est un « maximum local » de f sur E et que a est un point de maximum local de f.

Lorsqu'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V différent de a, on ait f(x) < f(a), on dit que f atteint en a un maximum local strict.

Théorèmes topologiques d'existence d'extrema globaux

Soit une fonction $f:D\to \mathbb {R}$, où D est un espace topologique. Par exemple, D peut être une partie de R (cas d'une fonction d'une variable réelle), ou d'un espace R^k, avec k un entier naturel (cas d'une fonction de k variables réelles).

L'existence d'extrema globaux est assurée dès lors que la fonction f est continue et définie sur une partie D compacte : en effet, l'image f(D) par une telle fonction continue d'une partie compacte est une partie compacte de l'espace d'arrivée R ; en tant que partie bornée de R, elle admet une borne supérieure, et cette borne supérieure est dans f(D) puisque cette partie est fermée.

En dimension k=1, c'est en particulier le cas si I est un intervalle fermé borné, c'est-à-dire de la forme [a,b] (voir théorème des bornes). En dimension supérieure k, c'est en particulier le cas si D est une boule fermée (de la forme $D=B(A,r)=\{X\in \mathbf {R} ^{k}/||X-A||\leq r\}$, où $||.||$ désigne une norme sur $\mathbf {R} ^{k}$.

Méthodes issues du calcul différentiel pour la recherche d'extrema locaux.

Soit une fonction $f:D\to \mathbb {R}$, où D est une partie ouverte de R^k ; par exemple, dans le cas d'une variable réelle, D peut être un intervalle ouvert de la forme ]a,b[ (avec a et b des nombres réels, ou $a=-\infty$, ou $b=+\infty$).

Si la fonction f atteint un extremum local en un point a où elle est différentiable, alors toutes ses dérivées partielles s'annulent en a ; en particulier, dans le cas d'une fonction d'une seule variable, le nombre dérivé de f en a est nul.

Pour cette raison, l'étude des extrema passe souvent par la recherche des points d'annulation de la dérivée, appelés points critiques de f. Un point critique n'est pas nécessairement un point d'extremum, comme le montre l'exemple de la fonction

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{3}$ au point 0. On peut, cependant, sous certaines hypothèses supplémentaires, affirmer qu'un point critique est un point d'extremum.

Cas d'une fonction d'une variable

• Condition suffisante pour un extremum local :

Si f est dérivable sur I, et si $a$ est un point intérieur à I où la dérivée de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en $a$. Plus précisément, en supposant $\ f\,'(a)=0$ :

S'il existe $\alpha$ réel strictement positif tel que $[a-\alpha ,\,a+\alpha ]\subset I$

et $f\,'\geq 0$ sur $[a-\alpha ,\,a]$, $f\,'\leq 0$ sur $[a,\,a+\alpha ]$,

alors f atteint un maximum local en $a$.

S'il existe $\alpha$ réel strictement positif tel que $[a-\alpha ,\,a+\alpha ]\subset I$

et $f\,'\leq 0$ sur $[a-\alpha ,\,a]$, $f\,'\geq 0$ sur $[a,\,a+\alpha ]$,

alors f atteint un minimum local en $a$.

Remarque

La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction

$f:[0,1]\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x$

admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1. Par ailleurs, elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule en aucun point.

Cas des fonctions de plusieurs variables

Condition suffisante pour un extremum local :

On suppose ici que A est un ouvert, et que f est deux fois dérivable en un point $a$ de A.

La (matrice) hessienne de f en $a$ est notée $\nabla ^{2}f(a)$ ; elle est symétrique réelle.

Si $\nabla f(a)=0$ et si $\nabla ^{2}f(a)$ est définie négative, alors f atteint un maximum local strict en $a$.

Si $\nabla f(a)=0$ et si $\nabla ^{2}f(a)$ est définie positive, alors f atteint un minimum local strict en $a$.

Rappel : par définition, la hessienne de f en $a$ est la matrice carrée d'ordre n ayant ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a)$ pour élément en ligne i et colonne j.

Comme f est deux fois dérivable en $a$, il résulte du théorème de Schwarz sur les dérivées partielles d'ordre 2 que la hessienne en $a$ est symétrique.

Cas des fonctions de plusieurs variables avec contraintes

Les conditions d'optimalité de ces problèmes sont présentées ailleurs.

Fonction optimum de deux fonctions

Les fonctions minimum et maximum de deux fonctions peuvent être définies à l'aide de valeurs absolues :

$\operatorname {min} \left(f,g\right)={\frac {f+g-|f-g|}{2}}$

$\operatorname {max} \left(f,g\right)={\frac {f+g+|f-g|}{2}}$