Exposant de Lyapunov

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Dans l'analyse des systèmes dynamiques l'exposant de Lyapunov permet de quantifier l'idée de sensibilité aux conditions initiales à la base de la notion de chaos. Il mesure les évolutions d'une incertitude sur les données initiales. Lorsqu'il est positif l'incertitude s'accroît sans limite, ce qui se traduit par un oubli des conditions initiales. Au contraire, un exposant négatif indique une certaine prédictibilité du résultat.

L'inverse de l'exposant de Lyapunov est un temps caractéristique du système, appelé parfois horizon de Lyapunov. Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants très inférieurs à l'horizon, tels que l'erreur garde approximativement sa taille initiale. En revanche, pour les temps supérieurs, toute prédiction devient pratiquement impossible, bien que le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui suppose la connaissance parfaite des conditions initiales, reste vrai.

Ce nombre permet d'identifier les phénomènes chaotiques dans les systèmes physiques continus régis par des équations différentielles mais il est plus facile de l'introduire à l'aide de suites définies par une relation de récurrence.

Problème

Les suites définies par une relation de récurrence $u_n = f(u_{n-1})$ ont, dans les cas les plus simples, un comportement qui se réduit pour l'essentiel, en fonction d'un paramètre, à la stabilité (convergence exponentielle) ou l'instabilité (divergence exponentielle).

D'autres suites sont bornées, ce qui interdit la divergence remplacée alors par des phénomènes plus compliqués, cycles limites et chaos.

Exposant de Lyapunov

On peut calculer l'erreur à un pas donné n en fonction de l'erreur au pas précédent supposée petite :

$\varepsilon_n = f(u_{n-1}+\varepsilon_{n-1})-f(u_{n-1})$.

Lorsque les deux erreurs consécutives tendent vers 0 leur rapport qui mesure l'amplification instantanée de l'erreur tend donc vers la pente $f'(u_{n-1})$ .

Cette amplification varie généralement d'un pas au suivant, ce qui conduit à calculer le produit des rapports d'erreurs consécutives :

$|\tfrac {\varepsilon_n} {\varepsilon_0}| = \prod _{i=1}^n |\tfrac {\varepsilon_i} {\varepsilon_{i-1}}| = \prod _{i=1}^n |f'(u_{i-1})|$.

En écrivant $\varepsilon_n = 2^{\lambda n} \varepsilon_0$ et en passant à la limite on obtient l'exposant de Lyapunov qui représente le logarithme moyen de l'accroissement :

$\lambda = \lim_{n \to \infty} \tfrac 1 n \sum _{i=1}^n \operatorname{log_2} (|f'(u_{i-1})|)$.

Suites simples

Dans le cas de la suite géométrique $u_n = a u_{n-1}$ la pente est constante et égale à a, ce qui dispense de calculer la moyenne.

Cette suite est stable lorsque sa valeur absolue est inférieure à 1, instable lorsqu'elle est supérieure à 1. Ces comportements sont analogues à celui d'un oscillateur harmonique qui deviendrait instable si un amortissement négatif lui fournissait de l'énergie. Ils se traduisent par un exposant de Lyapunov négatif ou positif (de signe opposé à celui du coefficient d'amortissement) .

Lorsque le paramètre vaut 1 le système est parfaitement stable tandis que lorsqu'il vaut -1 on observe des oscillations entretenues analogues à celles d'un système conservatif. C'est un exemple simplifié de cycle limite. On peut parler de système superstable associé à un exposant de Lyapunov qui tend vers moins l'infini.

Suites bornées

La suite logistique fournit l'exemple le plus simple de suite bornée :

$u_n = a \, u_{n-1}\,(1-u_{n-1}) \quad (0 \leqslant a \leqslant 4)$.

Le terme correctif apporté à la suite géométrique contraint les valeurs à rester dans l'intervalle [0,1]. Cette contrainte introduit une évolution complexe.

Pour des valeurs relativement faibles du paramètre a on trouve en 0 et ½ des points superstables entre lesquels existent des points possédant une stabilité asymptotique d'autant plus forte que l'exposant est plus négatif. Ensuite on observe une succession de bifurcations faisant apparaître des systèmes de cycles limites de plus en plus compliqués qui correspondent néanmoins à un stabilité plus ou moins forte marquée par un exposant négatif.

Lorsque cet exposant devient positif apparaît une tentative de divergence contrainte par les limites de l'intervalle. Cela se traduit par un phénomène chaotique dans lequel l'évolution est sensible aux conditions initiales.

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