Exposant critique d'un mot

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur les redirections Pour la signification du terme en physique, voir exposant critique.

En mathématiques et en informatique théorique, et notamment en combinatoire des mots, l'exposant critique d'un mot (en anglais critical exponent) est une propriété d'un mot infini. C'est l'exposant de la plus grande puissance fractionnaire d'un mot qui peut apparaître dans ce mot infini. C'est une mesure de régularité des suites infinies de symboles.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit x un mot fini sur A et soit \alpha\ge1 un nombre réel. On dit qu'un mot z est une puissance d'ordre \alpha de x si z= x^ny, où n est la partie entière de \alpha, y est un préfixe de x, et |z|\ge\alpha|x|.

Voici quelques exemples.

  • Le mot aabbaa est une puissance d'ordre 3/2 de aabb.
  • Le mot abaababa est une puissance d'ordre 8/5 de abaab.
  • Un carré est une puissance d'ordre 2.
  • La définition implique que si une mot est une puissance d'ordre \alpha, c'est aussi une puissance d'ordre \beta pour tout réel \beta < \alpha pourvu qu'ils aient même partie entière.

Soit maintenant w un mot infini sur l'alphabet A. On dit que ce mot possède une puissance d'ordre \alpha s'il contient un facteur qui est une puissance d'ordre \alpha. Il est dit sans puissance d'ordre \alpha si, au contraire, il ne contient pas de facteur qui est une puissance d'ordre \alpha. Par exemple, un mot sans carré est un mot qui ne contient aucun facteur carré.

L'exposant critique de w est la borne supérieure des \alpha pour lesquelles w possède des puissance d'ordre \alpha ou, de manière équivalente, la borne inférieure des \alpha pour lesquelles w est sans puissance d'ordre \alpha[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'exposant critique de la suite de Prouhet-Thue-Morse est 2. Ceci provient de ce que ce mot contient des carrés, mais aucun facteur d'exposant strictement plus grand que 2 puisqu'il ne contient pas de facteur chevauchant, c'est-à-dire de la forme xxbb est la première lettre de x .
  • L'exposant critique du mot infini de Fibonacci est (5+\sqrt5)/2[2],[3].
    Le mot infini de Fibonacci contient des cubes, et est sans puissance 4e. Il contient, pour n\ge 4, en facteur les mots de la forme f_nf_nf_ng_{n-1},f_n est un mot de Fibonacci fini, et où g_{n-1} est le mot f_{n-1} privé de ses deux dernières lettres. Le plus simple de ces mots est (01001)(01001)(01001)0. La longueur de ces mots est 3F_n+(F_{n-1}-2), où F_n est le ne nombre de Fibonacci, et l'exposant de ces mots est 3+(F_{n-1}-2)/F_n.
  • Les mots sturmiens ont tous des exposants critiques supérieurs à celui du mot de Fibonacci[4].
  • Le mot de Champernowne contient tous les facteurs, donc toutes les puissances. Son exposant critique est infini.

Commentaire[modifier | modifier le code]

Les deux premiers exemples montrent les deux cas qui peuvent se produire pour l'exposant critique : dans le mot de Thue-Morse, l'exposant critique est l'exposant d'une puissance réalisée, et donc l'intervalle des exposants des facteurs qui ne sont pas puissance est ouvert. C'est pourquoi on dit aussi que le mot de Thue-Morse est sans puissance 2^+, le symbole additif voulant signifier qu'il est sans puissance strictement plus grande que 2.

Pour le mot de Fibonacci en revanche, c'est l'intervalle des exposants des puissances réalisées qui est ouvert. Il est sans puissance (5+\sqrt5)/2, et cet exposant étant irrationnel, il ne peut bien sûr pas être réalisé.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés remarquables de l'exposant critique :

  • L'exposant critique peut prendre toute valeur réelle plus grande que 1[5].
  • L'exposant critique d'un mot morphique sur un alphabet fini est un nombre algébrique dont le degré est au plus égal à la taille de l'alphabet[6].
  • L'exposant critique d'un mot sturmien est fini si et seulement si les coefficients du développement en fraction continue de sa pente sont bornés[7].

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. L'usage du terme exposant critique a été systématisé dans (Krieger 2006). Il apparaît avant dans (Vandeth 2000). On a également utilisé le mot index, par exemple dans (Allouche et Shallit 2003) ou (Damanik et Lenz 2003).
  2. Allouche et Shallit 2003.
  3. Mignosi et Pirillo 1992.
  4. Damanik et Lenz 2003.
  5. Krieger et Shallit 2007.
  6. Krieger 2006.
  7. Ce résultat, de (Mignosi 1991), a été précisé ensuite. On connaît exactement les exposants critiques des mots sturmiens depuis (Carpi et De Luca 2000) et (Vandeth 2000).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Critical exponent of a word » (voir la liste des auteurs)

Références[modifier | modifier le code]

  • Jean-Paul Allouche et Jeffrey O. Shallit, Automatic sequences : Theory, applications, generalizations, Cambridge University Press,‎ 2003 (ISBN 0-521-82332-3, zbMATH 1086.11015)
  • Dalia Krieger, « On critical exponents in fixed points of non-erasing morphisms », dans Oscar H. Ibarra et Zhe Dang, Developments in Language Theory: Proceedings 10th International Conference, DLT 2006, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 4036),‎ 2006, p. 280–291
  • Dalia Krieger et J. Shallit, « Every real number greater than one is a critical exponent », Theor. Comput. Sci., vol. 381,‎ 2007, p. 177–182 (DOI 10.1016/j.tcs.2007.04.037)
  • M. Lothaire, Algebraic combinatorics on words, Réimpression de l'édition de 2002 Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 90),‎ 2011 (ISBN 978-0-521-18071-9, zbMATH 1221.68183, présentation en ligne)
  • Filippo Mignosi et Guiseppe Pirillo, « Repetitions in the Fibonacci infinite word », Theoret. Inform. Appl., vol. 26, no 3,‎ 1992, p. 199–204
  • D. Damanik et D. Lenz, « Powers in Sturmian sequences », European Journal of Combinatorics, vol. 24, no 4,‎ 2003, p. 377–390
  • Filippo Mignosi, « On the number of factors of Sturmian words », Theoret. Comput. Sci, vol. 82,‎ 1991, p. 71-84
  • Arturo Carpi et Aldo De Luca, « Special factors, periodicity, and an application to Sturmian words », Acta Informatica, vol. 36,‎ 2000, p. 983-1006
  • D. Vandeth, « Sturmian words and words with a critical exponent », Theoret. Comput. Sci., vol. 242,‎ 2000, p. 283-300