Expérience de Fermi-Pasta-Ulam

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L'expérience de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) fut la première simulation numérique. Elle étudiait la répartition à long terme de l'énergie d'un système dynamique unidimensionnel de 64 masses couplées entre elles par des ressorts harmoniques perturbés par une faible anharmonicité, sachant qu'un seul mode du système est initialement excité.

L'expérience FPU dans l'histoire[modifier | modifier le code]

La première simulation numérique, c’est-à-dire la première « expérience virtuelle » entièrement réalisée sur ordinateur, fut réalisée en 1953. Son nom rappelle le rôle du physicien Enrico Fermi, de l'informaticien John R. Pasta (en) et du mathématicien Stanislaw Ulam ; deux lignes dans le rapport[1] reconnaissent le rôle de la programmeuse Mary Tsingou[2] ; d'où le nom proposé aujourd'hui[3] de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou.

À cette époque, on pensait que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non intégrables. Or, si le problème purement harmonique est intégrable, le problème perturbé ne l'est plus. Les trois auteurs de cette simulation s'attendaient donc à observer une « thermalisation approchée » du système perturbé par la faible anharmonicité, l'énergie se répartissant de façon approximativement égale sur les différents modes. Le résultat fut très surprenant : la thermalisation n'a pas lieu, la dynamique réelle du système perturbé étant quasi-périodique!

Depuis lors, le théorème KAM nous a appris que la perturbation d'un système intégrable ne conduisait pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants pouvaient subsister dans des régions de mesures finies de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi-périodique.

Les équations FPU[modifier | modifier le code]

Si l'on note x_i ( i = 1, \dots, N = 64) le déplacement de la i-ème masse par rapport à sa position d'équilibre, les systèmes d'équations différentielles couplées étudiés numériquement par FPU sont les suivants :

  • anharmonicité quadratique,

\ddot{x}_i \ = \ \left( x_{i+1} \ + \ x_{i-1} \ - \ 2 \, x_i \right)  \ + \ \alpha \ \left[ \ \left( x_{i+1} \ - \ x_i \right)^2 \ - \ \left(  x_i \ - \ x_{i-1} \right)^2 \ \right],

\alpha est un petit paramètre ;

  • anharmonicité cubique,

\ddot{x}_i \ = \ \left( x_{i+1} \ + \ x_{i-1} \ - \ 2 \, x_i \right)  \ + \ \beta \ \left[ \ \left( x_{i+1} \ - \ x_i \right)^3 \ - \ \left(  x_i \ - \ x_{i-1} \right)^3 \ \right],

\beta est un petit paramètre.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « We thank Miss Mary Tsingou for efficient coding of the problems and for running the computations on the Los Alamos MANIAC machine. » Studies of Nonlinear Problems, p. 979 du rapport original, p. 492 de la réimpression.
  2. Elle travaillait sur un ordinateur MANIAC I (en).
  3. Voir l'article de Scholarpedia ; voir aussi Dauxois (2008).

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • E. Fermi, J. Pasta et S. Ulam, Studies of Nonlinear Problems, Document Los Alamos 1940 (May 1955). [PDF].
  • G. P. Berman et F. M. Izrailev, The Fermi-Pasta-Ulam problem: 50 years of progress, Chaos 15 (2005) 015104. ArXiv : nlin.CD/0411062.
  • Thierry Dauxois, Michel Peyrard et Stefano Ruffo, The Fermi-Pasta-Ulam "numerical experiment": history and pedagogical perspectives, European Journal of Physics 26 (2005), S3-S11. ArXiv : nlin/0501053.
  • Thierry Dauxois, Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady, Physics Today 61 (1) (2008), 55-57. ArXiv : physics/0801.1590.
  • Thierry Dauxois et Stefano Ruffo, Fermi-Pasta-Ulam nonlinear lattice oscillations Article de Scholarpedia
    Comprend du code MATLAB pour reproduire l'expérience.

Articles connexes[modifier | modifier le code]