Expérience de Clément-Desormes

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L'expérience de Clément-Desormes permet d'évaluer le coefficient \gamma = \frac {\chi_T}{\chi_S} = \frac {C_P}{C_V}, d'un gaz parfait, où :

On peut obtenir le résultat de deux manières :

  • en comparant la pente de l'adiabatique et celle de l'isotherme.
  • en faisant un calcul à l'ordre 1.

Description de l'appareil[modifier | modifier le code]

Schéma de l'expérience de Clement et Desormes

On dispose d'un récipient empli du gaz que l'on souhaite étudier, couplé à un manomètre. On crée dans le récipient une petite surpression, qui s'accompagne inévitablement d'une élévation de \displaystyle{h_i} du niveau du manomètre.

Mesure[modifier | modifier le code]

On ouvre la vanne. La pression retombe à la pression P° extérieure. On referme immédiatement la vanne. Le gaz à l'intérieur, refroidi par la détente, va maintenant revenir à la température de la salle T°. À la fin de ce processus, on obtient au manomètre une dénivellation \displaystyle{h_f}.

Résultat et précision[modifier | modifier le code]

On obtiendra alors : \gamma = \frac{h_i}{(h_i-h_f)} \,

Le manomètre, souvent à mercure, peut être à eau : la hauteur hi sera alors 13,6 fois celle du mercure. Cela peut améliorer la précision de la mesure.

En revanche, hf n'intervient que pour sa différence avec hi  : la précision sur une différence est mauvaise.

On n'attend que des résultats en ordre de grandeur. On peut toutefois espérer estimer les erreurs car théoriquement, \gamma vaut :

  • pour un gaz parfait monoatomique \gamma=\frac53
  • pour un gaz parfait diatomique \gamma=\frac75

Démonstration de la formule[modifier | modifier le code]

Pour cette démonstration on se place dans un diagramme (P,V) de Clapeyron : on va noter A le point (ou état) initial A:(P_A,V_A)=(P_0+h_i,V_i), B le point après la détente adiabatique B:(P_B,V_B)=(P_0,V_f) et enfin C le point final (lorsque le système s'est rééquilibré thermiquement avec l'extérieur) C:(P_C,V_C)=(P_0+h_f,V_f). Or, comme le segment AB décrit une adiabatique, et que A et C sont sur une même isotherme, on a :

\left\{
\begin{array}{r c l}
P_AV_A^\gamma&=&P_BV_B^\gamma\\
P_AV_A&=&P_CV_C
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{r c l}
(P_0+h_i)V_i^\gamma&=&P_0V_f^\gamma\\
(P_0+h_i)V_i&=&(P_0+h_f)V_f
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{r c l}
\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)^\gamma&=&1+\dfrac{h_i}{P_0}\\
\dfrac{V_f}{V_i}&=&\dfrac{P_0+h_i}{P_0+h_f}
\end{array}
\right.

Et donc,

\Rightarrow 1+\frac{h_i}{P_0}=\left(\frac{P_0+h_i}{P_0+h_f}\right)^\gamma
	=\left(1+\dfrac{h_i}{P_0}\right)^\gamma\left(1+\frac{h_f}{P_0}\right)^{-\gamma}

Or comme \frac{h_\alpha}{P_0}\to 0 ; nous pouvons donc procéder à un développement limité à l'ordre 1 en \frac{1}{P_0} :

1+\frac{h_i}{P_0}\approx\left(1+\gamma\dfrac{h_i}{P_0}\right)\left(1-\gamma\dfrac{h_f}{P_0}\right)
	\approx 1+\dfrac{\gamma}{P_0}(h_i-h_f)

D'où le résultat énoncé plus haut :

\gamma=\frac{h_i}{h_i-h_f}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

et gaz parfait

Liens externes[modifier | modifier le code]